Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Groupes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Groupes

Exercice 1[ 00113 ][correction]
Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux
sous-groupes ?

Exercice 2[ 00114 ][correction]
SoientHetKdeux sous-groupes d’un groupe(G ?).
A quelle condition l’ensembleH∪Kest-il un sous-groupe de(G ?)?

Exercice 3[ 03432 ][correction]
Un sous-groupeHde(G )est dit distingué si

∀x∈H∀a∈G axa−1∈H

a) Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de(G )est
distingué.
b) SoientH Kdeux sous-groupes de(G ).
On suppose le sous-groupeHdistingué, montrer que l’ensemble

H K={xyx∈H y∈K}

est un sous-groupe de(G ).

Enoncés

Exercice 4[ 00115 ][correction]
Un élémentad’un groupe(G ?)est dit élément de torsion si, et seulement si, il
existen∈N?tel quean=e. Montrer que le sous-ensemble formé des éléments de
torsion d’un groupe abélien en est un sous-groupe.

Exercice 5[ 00116 ][correction]
Soient(G ?)un groupe fini commutatif d’ordreneta∈G.
a) Justifier que l’applicationx7→a ? xest une permutation deG.
b) En considérant le produit des éléments deG, établir quean=e.

Exercice 6[ 00117 ][correction]
[Théorème de Lagrange]
SoitHun sous-groupe d’un groupe(G )fini.

a) Montrer que les ensemblesaH={axx∈H}aveca∈Gont tous le cardinal
deH.
b) Montrer que les ensemblesaHaveca∈Gsont deux à deux confondus ou
disjoints.
c) En déduire que le cardinal deHdivise celui deG.
d) Application : Montrer que tout élément deGest d’ordre fini et que cet ordre
divise le cardinal deG.

Exercice 7[ 00119 ][correction]
Soitn∈Ntel quen>2. Déterminer les morphismes du groupe(Sn◦)vers
(C?×).

1

Exercice 8[ 00120 ][correction]
Soitn∈Ntel quen>3. On considère la transpositionτ=1 2et len-cycle
χ=1 2   n.
a) Justifier que l’ensemble{τ χ}forme une partie génératrice de(Sn◦).
b) Existe-t-il une partie génératrice de(Sn◦)formée d’un seul élément ?

Exercice 9[ 00121 ][correction]
SoitHl’ensemble desσ∈Snvérifiantσ(k) +σ(n+ 1−k) =n+ 1pour tout
k∈ {1     n}.
Montrer queHest un sous-groupe de(Sn◦)

Exercice 10[ 00122 ][correction]
Les groupes(Q+)et(Q?×) ?sont-ils isomorphes

Exercice 11Centrale MP[ 02363 ][correction]
Quel est le plus petit entierntel qu’il existe un groupe non commutatif de
cardinaln?

Exercice 12Centrale MP[ 02366 ][correction]
Montrer que
nx+y√3x∈N y∈Z x2−3y2= 1o

est un sous-groupe de(R?×).
+

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Exercice 13Centrale MP[ 02368 ][correction]
Soitnun entier naturel non nul,(e1     en)la base canonique deE=Rn.
SoitSnl’ensemble des permutations de{12     n}. Soitti= (1 i).
Pours∈Sn, on définitus(ei) =es(i).
a) Montrer que(t2 t3     tn)engendreSn.
b) Interpréter géométriquementuslorsquesest une transposition.
c) Soits= (1 2   n−1n). On suppose quesest la composée dep
transpositions. Montrer quep>n−1.
d) Quelle est le cardinal minimal d’une famille de transpositions génératrice de
Sn?

Enoncés

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02648 ][correction]
SoitGun groupe,Hun sous-groupe deG,Aune partie non vide deG. On pose
AH={aha∈A h∈H}. Montrer queAH=Hsi, et seulement si,A⊂H.

Exercice 15X MP[ 02948 ][correction]
a) Montrer que tout sous-groupe additif deRqui n’est pas monogène est dense
dansR.
b) Soitx∈R\Q. Montrer qu’il existe une infinité de(p q)∈Z×N?tels que

p1
x−<q2
q

c) Montrer la divergence de la suite de terme général

1
un=inn
ns

Exercice 16Centrale MP[ 01479 ][correction]
SoitGle sous-groupe de GL2(R)engendré par les deux matricesSetTsuivantes :
S=−101,T=√21−1111
0

Rappelons que c’est le plus petit sous-groupe de GL2(R)contenantSetT.
a) Avec le logiciel de calcul formel, créer les matricesS T. Expliciter les éléments
du groupehRiengendré par la matriceR=STet préciser le cardinal de ce
sous-groupe deG.
Quelles sont les matricesSRetR7S?

2

b) Montrer que tout élément deGest soit une puissanceRkdeR, soit un produit
RkS. Préciser le cardinalndeG.
Dresser la liste de tous les éléments deGet déterminer la nature géométrique des
endomorphismes canoniquement associés dans l’espace euclidienR2.
c) La transformationφS:g7→Sgdéfinit une permutation de l’ensembleG.
A l’aide du logiciel de calcul formel, dresser la séquence des éléments deGet de
leurs images parφS.
Quelle est la signature de la permutation deG(qu’on peut identifier à l’ensemble
{12     n} ?) ainsi définie
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 17Centrale MP[ 03199 ][correction]
SoientA(10)etB(01). Les pointsM0(x0 y0)etM1(x1 y1)sont donnés.
On construit le pointP0par les conditions :
- les droites(P0M0)et(Ox) ;sont parallèles
-P0∈(AB)
.
On construit le pointQ0par les conditions :
- les droites(P0Q0)et(M1B)sont parallèles ;
-Q0∈(AM1).
Soit le pointM2(x2 y2)tel que le quadrilatère(M0P0Q0M2)soit un
parallélogramme.
On pose
M2=M0? M1
a) Démontrer
x0+x1y0
xy22!=y0y1!

b) Démontrer que la loi?est associative, admet un élément neutre et que, si
y06= 0, le pointM0admet un inverse.
c) On définit une suite de points(Mn)n∈Npar la donnée deM0, deM1et de la
relation de récurrence valable pour tout entiern>2

Mn=Mn−1? Mn−2

Déterminerynen fonction dey0et dey1.

Exercice 18[ 03256 ][correction]
SoitHun sous-groupe strict d’un groupe(G ?). Déterminer le groupe engendré
par le complémentaire deHdansG.

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Enoncés

Exercice 19[ 03332 ][correction]
Soientaetbdeux éléments d’ordre respectifspetqd’un groupe abélien(G ?).
a) On suppose dans cette question seulement quepetqsont premiers entre eux.
Montrer que l’élémentabest d’ordrepq.
b) Soitdun diviseur dep. Montrer qu’il existe un élément d’ordreddans(G ?).
c) Existe-t-il dansGun élément d’ordrem=ppcm(p q)?

3

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Non.{(x x)x∈Z}est un sous-groupe de(Z2+)n’est pas produit de deux
sous-groupes.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
SiH⊂KouK⊂HalorsH∪K=K(resp.H) et doncH∪Kest un
sous-groupe de(G ?)
Inversement, supposons queH∪Kest un sous groupe et queH6⊂K. Il existe
alorsh∈Htel queh∈ K.
Pour toutk∈K, on ak ? h∈H∪KcarH∪Kest stable.
Sik ? h∈Kalorsh=k−1?(k ? h)∈Kce qui est exclu.
Il restek ? h∈Hqui donnek= (k ? h)? h−1∈H. AinsiK⊂H.
Ainsi siH∪Kest un sous-groupe alorsH⊂KouK⊂H.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Soitϕ:G→G0un tel morphisme etH={x∈Gϕ(x) =eG0}son noyau.
On sait déjà queHest un sous-groupe de(G ).
Soientx∈Heta∈G. On a

ϕ(axa−1) =ϕ(a)ϕ(x)ϕ(a)−1=ϕ(a)eG0ϕ(a)−1=eG0

−
doncaxa1∈H.
b)H K⊂Gete=ee∈H K.
Soienta b∈H K. On peut écrire

On a alors

a=xyetb=x0y0avecx x0∈He