Sujet : Algèbre, Arithmétique dans Z, Divisibilité
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Divisibilité
Exercice 1[ 01187 ][correction]
Résoudre dansZles équations suivantes :
a)x−1|x+ 3b)x+ 2|x2+ 2.
Exercice 2[ 01188 ][correction]
Résoudre dansZ2les équations suivantes :
a)xy= 3x+ 2yb)x1+y1=51c)x2−y2−4x−2y= 5.
Exercice 3[ 01189 ][correction]
Soienta∈Zetb∈N?, on noteqle quotient de la division euclidienne dea−1
parb.
Déterminer pour toutn∈N, le quotient de la division euclidienne de(abn−1)
parbn+1.
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a)x= 1n’est pas solution. Pourx6= 1:
−
x−1|x+ 3⇔xx−+31= 1 +x4−1∈Z⇔x−1∈Div(4) ={1241−2−4}
AinsiS={2350−1−3}.
b)x=−2n’est pas solution. Pourx6=−2:
x+ 2|x2+ 2⇔x2+2=x−2 +x6+2∈Z⇔x+ 2∈Div(6) =
x+2
{1236−1−2−3−6}.
AinsiS={−1014−3−4−5−8}.
Exercice 2 :[énoncé]
a) On a
xy= 3x+ 2y⇔(x−2)(y−3) = 6
ce qui équivaut encore à
En détaillant les diviseurs de 6 possibles, on obtient
S={(39)(46)(55)(84)(1−3)(00)(−11)(−42)}
?
b) Pourx y∈Z,
1x+y=151⇔5x+ 5y=xy⇔(x−5)(y−5) = 25
En détaillant les diviseurs de 25 possibles, on obtient
c) On a
S={(630)(1010)(306)(4−20)(−204)}
x2−y2−4x−2y= 5⇔(x−2)2−(y+ 1)2= 8
et donc
x2−y2−4x−2y= 5⇔(x−y−3)(x+y−1) = 8
En détaillant les diviseurs de 8 possibles et sachant
x= 2 +
(xx−+yy−−1=3=ba⇔y=ab−+ba−12
2
on obtient
S={(50)(5−2)(−10)(−1−2)}
Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
a−1 =bq+ravec06r < b.
abn−1 = (bq+r+ 1)bn−1 =qbn+1+bn(r+ 1)−1.
Or06bn(r+ 1)−1< bn+1relation ci-dessus est la division euclidiennedonc la
deabn−1parbn+1.
Le quotient de celle-ci est doncq.
2
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