Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Endomorphismes autoadjoints positifs

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Endomorphismes autoadjoints positifs

Exercice 1[ 00008 ][correction]
Soientf∈ L(E)etu=f?◦f. Montrer queu∈ S+(E).

Exercice 2[ 00009 ][correction]
Soituun endomorphisme symétrique positif d’un espace vectoriel euclidienE.
a) Montrer qu’il existe un endomorphismevsymétrique positif tel queu=v2.
b) Etablir l’unicité deven étudiant l’endomorphisme induit parvsur les
sous-espaces propres deu.

Enoncés

Exercice 3Centrale MP[ 02399 ][correction]
Soit(Eh | i)un espace euclidien etAun endomorphisme symétrique défini positif
de(Eh | i). On pose
hx|yiA=A−1x|y
pour tousx y∈E.
a) Montrer queh | iAest un produit scalaire.
SoitBun endomorphisme autoadjoint de(Eh | i).
b) Montrer queABest diagonalisable
SiMest un endomorphisme diagonalisable deE, on noteλmin(M)(resp.
λmax(M)) sa plus petite (resp. grande) valeur propre.
c) Montrer que l’image deE\ {0}par

x7→ hBx|xi
hA−1x|xi

n’est autre que le segment d’extrémitésλmin(AB)etλmax(AB).
d) Montrer que

λmin(A)λmin(B)6λmin(AB)6λmax(AB)6λmax(A)λmax(B)

Exercice 4Centrale MP[ 02400 ][correction]
Soituun automorphisme d’un espace euclidienE.
a) Montrer quev=u?uest autoadjoint défini positif.
b) Montrer qu’il existewautoadjoint positif tel quev=w2, etρorthogonal tel
queu=ρw.
c) Montrer que cette décomposition deuest unique.
d) Comment interpréter ces résultats de façon matricielle ?

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02753 ][correction]
SoientEun espace euclidien etu∈ L(E)symétrique défini positif. Montrer que,
pour toutx∈E,
kxk46hu(x) xiu−1(x) x

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait égalité.

Exercice 6[ 00629 ][correction]
SoitEun espace euclidien. Montrer l’équivalence des assertions suivantes
(i)uu?u=u;
(ii)uu? ;est un projecteur orthogonal
(iii)u?uest un projecteur orthogonal ;
(iv)(keru)⊥={x∈Eku(x)k=kxk}.

1

Exercice 7[ 03329 ][correction]
Soituun endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidienEde dimensionnnon
nulle.
On pose
Hu={x∈E(u(x)|x) = 1}
a) Enoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre deupour
qu’il existe un vecteur unitaire élément deHu.
b) Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre dev−1◦u
pour queHu∩Hv6=∅.

Exercice 8[ 03330 ][correction]
Soitv∈ L(E)autoadjoint défini positif.
a) Montrer qu’il existe un endomorphismesautoadjoint défini positif vérifiant
s2=v.
b) Soituun endomorphisme autoadjoint deE. Etablir quev−1◦uest
diagonalisable.

Exercice 9CCP PSI[ 03384 ][correction]
Soit(e1     en)une base quelconque d’un espace euclidienE.
a) Montrer que l’endomorphismefdonnée par

n
f(x) =X(ek|x)ek
k=1

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est autoadjoint et défini positif.
b) Montrer qu’il existe un endomorphisme autoadjoint positifgdeEtel que

g2=f−1

c) Montrer que la famille(g(e1)     g(en))est une base orthonormale deE
(indice : on pourra introduire les vecteursuitels quef(ui) =ei)

Exercice 10CCP MP[ 03692 ][correction]
Soitpun entier naturel impair etuun endomorphisme symétrique d’un espace
euclidien de dimensionn.
a) Montrer qu’il existe un unique endomorphisme symétriquevtel quevp=u.
b) Que se passe-t-il sip ?est pair
c) Sipest pair etupositif ?
d) Sipest pair etuetvpositifs ?

Enoncés

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
u?= (f?◦f)?=f?◦f=udoncu∈ S(E)
Siλest valeur propre deuassociée au vecteur proprex6= 0alors
(x|u(x)) =λkxk2et(x|u(x)) =kf(x)k2doncλ=kfk(xxk)2k2>0.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a)uest diagonalisable et ses valeurs propresλ1     λrsont positives.Eest la
somme directe orthogonale des sous-espaces propresEλ1     Eλr, notons
p1     prles projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition.
On au=λ1p1+∙ ∙ ∙+λrpret en posantv=√λ1p1+∙ ∙ ∙+√λrpr, on av2=u
avecvendomorphisme symétrique positif. On peut aussi proposer une résolution
matricielle via représentation dans une base orthonormée
b) Soitvsolution. Pour toutλ∈Sp(u),F=Eλ(u)est stable parvcaruetv
commutent.vF∈ S+(F)etvF2=λIdFdonc via diagonalisation devF, on obtient
vF=√λIdF. Ceci déterminevde manière unique sur chaque sous-espace propre
deuet puisque ceux-ci sont en somme directe égale àE, on peut conclure à
l’unicité dev.

Exercice 3 :[énoncé]
a)A∈ Sn+?(E)doncA−1∈ Sn+?(E)et par suiteh | iAest un produit scalaire sur
E.
b) On a
hx|AByiA=A−1x|ABy=hx|Byi=hBx|yi=hABx|yiA

L’endomorphismeABest autoadjoint dans(Eh | iA)donc diagonalisable.
c) On a
hBx|xi hABx|xiA
=
hA−1x|xikxk2A
En introduisant une base orthonorméeB= (e1     en)de(Eh | iA)formée de
vecteurs propres deAB, on peut écrire pourx=x1e1+∙ ∙ ∙+xnen,

hABx|xiAλ1x21+∙ ∙ ∙+λnx2n
=
kxk2Ax21+∙ ∙ ∙+x2n

en notantλ1     λnles valeurs propres deAB. Il est clair que cette quantité est
comprise entreλmin(AB)etλmax(AB). De plus ces deux valeurs propres sont

valeurs prise par
hABx|xiA
2
kxkA
enxvecteur propre associé. EnfinE\ {0}est connexe par arcs et l’image d’un
connexe par arcs par une application continue est un connexe par arcs. On peut
donc conclure que les valeurs prises par

x h7→ hxBA1x||xixi
−

surE\ {0}constituent le segment

[λmin(AB) λmax(AB)]
d) On ahBx|xi6λmax(B)kxk2etA−1x|x>λmin(A−1)kxk2donc

λax(B
hhBA−x1x||xxii6λmnmi(A−1))
Orλmin(A−1) =λmax(1A)donc

hhAB−x1x||xixi6λmin(A)λax(B)
m

et la conclusion est dès lors facile.

3

Exercice 4 :[énoncé]
a)v?=vet(v(x)|x) =ku(x)k2>0et= 0⇔x= 0caru∈GL(E).
b) Il existe une base orthonorméeBdans laquelle la matrice devest de la forme
diag(λ1     λn)avecλi>0. L’endomorphismewdont la matrice dansBest
diag(√λ1    √λn)convient. Notons que cet endomorphisme est autoadjoint car
représenté par une matrice symétrique dans une base orthonormée.
On pose ensuiteρ=uw−1et on vérifie sans peineρ?ρ=Id doncρ∈ O(E).
c) Siu=ρwalorsw2=v. Nous allons établir l’unicité dew.vest diagonalisable
doncEest somme des sous-espaces propresEλ(v)avecλ>0. Commevetw
commutent, ces sous-espaces sont stables parw. Orwest diagonalisable donc
l’endomorphisme induit parwsurEλ(v)aussi et puisque les valeurs propres dew
sont positives, il est nécessaire que l’endomorphisme induit parwsurEλ(v)soit
√λId. Ceci déterminewde manière unique et puisqueρ=uw−1,raussi est
unique.
d)∀A∈GLn(R)∃!(O S)∈ On(R)× Sn++(R) A=OS(décomposition de
Cartan).

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Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
Pourx= 0, il y a égalité.
Pourx6= 0et pourλ∈R,ux+λu−1(x)|x+λu−1(x)>0donc
λ2x u−1(x)+ 2λhx|xi+hu(x) xi>0avecx u−1(x)6= 0caru−1∈ S++(E).
Par suiteΔ = 4kxk4−4hu(x) xiu−1(x) x60puis l’inégalité proposée.
De plus, il y a égalité si, et seulement si, il existeλ∈Rvériᤙ