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01 mars 2012

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PSI Mars 2012 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Compléments dans les Espaces euclidiens Groupe orthogonal Réduction des endomorphismes autoadjoints Coniques-Quadriques 1 Compléments dans les espaces euclidiens Exercice 1 : Soit A = (aij)i,j ? Mn(IR) avec : aij = ∫ pi 2 0 sin(ix) sin(jx)dx Montrer que detA > 0. Exercice 2 : Montrer que : ?f ? (Mn(IR)) ? , ?!F ? Mn(IR), ?X ? Mn(IR), f(X) = tr(FX) Exercice 3 : (CCP) Soit E un espace euclidien, (a, b) ? E2 et ? ? L(E) définie par : ?(x) =< a, x > b? < b, x > a. Déterminer ??. Exercice 4 : Soit E un espace euclidien. Montrer que ?f ? L(E), Kerf ? = (Imf)? Imf ? = (Kerf)? Kerf ? ? f = (Kerf) Imf ? ? f = (Imf ?) Exercice 5 : Soit E = Mn,p(IR) muni du produit scalaire (X, Y ) ? tr(tXY ). Pour A fixée dans E, soit ?A : E ? E,X 7?? AtXA.

espace euclidien

feuille d'exercices compléments dans les espaces euclidiens

y2 ?

groupe orthogonal

imf ?

?2 ?1

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Espace euclidien Groupe orthogonal

PSI MATHEMATIQUES

Mars 2012

Feuille d’Exercices ComplÉments dans les Espaces euclidiens Groupe orthogonal RÉduction des endomorphismes autoadjoints Coniques-Quadriques

1 ComplÉmentsdans les espaces euclidiens Exercice 1: SoitA= (aij)i,j∈ Mn(IR)avec : Z π 2 aij= sin(ix) sin(jx)dx 0 Montrer quedetA >0. Exercice 2: Montrer que : ∗ ∀f∈(Mn(IR)),∃!F∈ Mn(IR),∀X∈ Mn(IR), f(X) = tr(F X)

Exercice 3: (CCP) 2 SoitEun espace euclidien,(a, b)∈Eetϕ∈ L(E)dÉﬁnie par : ϕ(x) =x > b< a,−x > a< b,. ∗ DÉterminerϕ.

Exercice 4: SoitEun espace euclidien. Montrer que∀f∈ L(E),

∗ ⊥ KerfmI(=f) ∗ ⊥ Imf= (Kerf) ∗ Kerf◦f= (Kerf) ∗ ∗ Imf◦fm=(If)

t Exercice 5: SoitE=Mn,p(IR)muni du produit scalaire(X, Y)→tr(XY). t PourAﬁxÉe dansE, soitΦA:E→E, X7−→A XA. Montrer queΦAest un endomorphisme autoadjoint deE.

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