PSI Brizeux PHYSIQUE DES ONDES EXERCICES PO11 Echelle de perroquet On considère une chaîne infinie de pendules de torsion constitués de masses m accrochées aux extrémités d'une tige qu'on supposera de masse nulle et de longueur 2l couplés par un fil de constante de torsion C Note le moment du couple de rappel exercé par un fil de constante de torsion C sur un pendule vaut
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PSI Brizeux PHYSIQUE DES ONDES EXERCICES 1 ? PO11 : Echelle de perroquet On considère une chaîne infinie de pendules de torsion (constitués de 2 masses m accrochées aux extrémités d'une tige qu'on supposera de masse nulle et de longueur 2l) couplés par un fil de constante de torsion C. Note : le moment du couple de rappel exercé par un fil de constante de torsion C sur un pendule vaut : ? ? = ?C? , si ? est l'angle dont a tourné le pendule par rapport à sa position d'équilibre. Au repos, les angles de torsion sont tous nuls. Hors équilibre, on appelle ?k l'angle dont a tourné le kième pendule. ? fil de torsion 1°) Déterminer l'équation différentielle vérifiée par ?k . 2°) En faisant l'approximation des milieux continus, on pourra poser ?k = ?(z,t). Montrer que l'équation différentielle vérifiée par ?(z,t) vérifie une équation de d'Alembert . 3°) De quelle forme sont les solutions générales de cette équation ? 4°) On suppose que les deux extrémités de l'échelle sont fixes. Montrer qu'il est possible de trouver des solutions à cette équation de la forme ?(z,t) = f(z)g(t). Déterminer les fonctions f et g qui conviennent et faire apparaître les modes propres de l'échelle.
Voir
- air dans les conditions de température et de pression ordinaires
- tension horizontale
- masse nulle
- ligne electrique
- onde
- chaîne d'oscillateurs unidimensionnelle
- equation différentielle
- plateau mince de masse surfacique
PSI Brizeux
P H Y S I Q U ED E SO N D E SEXERCICES1PO11: Echelle de perroquet On considère une chaîne infinie de pendules de torsion (constitués de 2 massesmaux accrochées extrémités dune tige quon supposera de masse nulle et de longueur 2l) couplés par un fil de constante de torsionC. Note :moment du couple de rappel exercé par un fil de le constante de torsionC surun pendule vaut:"=#C$, siθ est langle dont a tourné le pendule par rapport à sa position fil de torsio déquilibre. Au repos, les angles de torsion sont tous nuls. ième Hors équilibre, on appelleθk langledont a tourné le k pendule. 1°)Déterminer léquation différentielle vérifiée parθk. 2°) Enfaisant lapproximation des milieux continus, on pourra poserθk =θ(z,t). Montrer que léquation différentielle vérifiée parθ(z,t) vérifie une équation de dAlembert . 3°)De quelle forme sont les solutions générales de cette équation ? 4°)On suppose que les deux extrémités de léchelle sont fixes. Montrer quil est possible de trouver des solutions à cette équation de la formeθ(z,t) =f(z)g(t). Déterminer les fonctionsfetgqui conviennent et faire apparaître les modes propres de léchelle. z
a
m
m
l Lextrémité basse peut être excitée à différentes fréquences réglables à laide dun petit moteur. Lors de manipulations avec léchelle de perroquet dont lextrémité supérieure est bloquée, on trouve les résultats suivants : 2 fuseaux 1/2 pour 15 hz ; 3 fuseaux 1/2 pour 20 Hz ; 4 fuseaux 1/2 pour 26 Hz. 5°)Montrer que ces résultats sont cohérents entre eux 6°)auraient les fréquences des premiers modes propres si lextrémité supérieure de léchelle Quelles avait été laissée libre ?
