Probabilites et statistiques M2MT01 TD2
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Probabilites et statistiques M2MT01 - TD2 Exercice 1 : Une fourmi se deplace sur un de a six faces. A chaque sommet, elle choisit le prochain parmi les trois sommets voisins avec la meme probabilite. La fourmi demarre du point I le point oppose est le point O. 1. Quel est le nombre moyen de pas avant la premiere visite en O ? 2. Quel est le nombre moyen de pas faits par la fourmi avant de revenir en I ? 3. Quel est le nombre moyen de visites en O avant de revenir I ? Exercice 2 : Le Bon, la Brute et le Truand se retrouvent finalement pour un memorable duel a 3 (tout c¸a pour quelques dollars de plus). Pous simplifier, nous designerons par A le Bon, B la Brute et C le Truand. Le Bon est un tireur d'elite et touche sa cible a coup sur. La Brute est egalement un bon tireur mais tetanise par l'enjeu, il n'a que 80% de chances de toucher. Enfin, le Truand a mal choisi son emplacement ; ebloui par le soleil couchant, il n'a qu'une probabilite de 10% d'atteindre son but. Les regles du duel sont les suivantes : – Le premier tireur sera tire au sort. – Chacun tire ensuite a tour de role dans l'ordre lexicographique. Bien entendu, a chaque fois que c'est son tour, le tireur choisit de tirer sur son adversaire le plus dangereux.
Voir
- aleatoires symetriques dans z independantes
- journee de chauffage dans le cadre de la question precedente
- hypotheses de la question
- matrice de transition
- probabilite
- lendemain
- meme train
- chaıne de markov
Probabilit´esetstatistiques M2MT01 - TD2
Exercice 1 :fenUmruodesilpe´urunacesasixd´e`.scAafecsemoahuqleelt,metlsioiche prochainparmilestroissommetsvoisinsaveclamˆemeprobabilite´.Lafourmide´marredupoint Ippsoniotelopointtlep´eesO. 1.Quelestlenombremoyendepasavantlapremie`revisiteenO? 2. Quelest le nombre moyen de pas faits par la fourmi avant de revenir enI? 3. Quelest le nombre moyen de visites enOavant de revenirI?
Exercice 2 :tleerueTlan,utBroBeLpourunm´nalementorvunefitnasdreteleudelbarome a`3(tout¸capourquelquesdollarsdeplus).Poussimplifier,nousd´esigneronsparAle Bon,B la Brute etCeTlLed.anrunutsenoB’drueritBrLaeeutst´eliteettouchesaiclb`ecauospuˆ.r ´egalementunbontireurmaiste´tanise´parl’enjeu,iln’aque80%dechancesdetoucher.Enfin, leTruandamalchoisisonemplacement;´eblouiparlesoleilcouchant,iln’aqu’uneprobabilit´e de10%d’atteindresonbut.Lesr`eglesduduelsontlessuivantes: –Lepremiertireurseratire´ausort. –Chacuntireensuitea`tourderoˆledansl’ordrelexicographique. Bienentendu,a`chaquefoisquec’estsontour,letireurchoisitdetirersursonadversairele plus dangereux. 1.Mod´eliserles´evolutionsdeceduel`al’aided’unechaıˆnedeMarkov. 2.LeTruanda´ete´choisiparlesortpourtirerenpremier.IltiredoncsurleBon. (a)Calculerlaprobabilit´equeletruandsurvives’ilrateleBonlorsdesonpremiertir. (b)Mˆemequestions’iltueleBonlorsdesonpremiertir. (c)Sivouse´tiezleTruand,quellestrat´egieadopteriez-vouslorsdupremiertir?
Exercice 3 :On place un rat dans le labyrinthe suivant.
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1. Achaque fois qu’il se retrouve dans une des 9 cases, le rat choisit une des portes disponibles auhasard,etinde´pendammentdeseschoixpre´c´edents.SoitXnodelm´erlenuanmee`-casevisit´eeparlerat.Mod´eliserl’e´volutiondeXn. 2.Onconsid`erelapartitiondel’espaced’´etatsenlestroisclassessuivantes: a={1,3,7,9}b={2,4,6,8}c={5}. On noteYnllaeppraitnetsslaaclueaqale`Xn. Montrer que{Yn, n∈N}est une chaˆıne deMarkovete´criresamatricedetransitions. 3.De´terminerlamesurestationnairedelachaˆıne{Yn}. 4.Ende´duirelamesurestationnairedelachaıˆne{Xn}.
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