PENDULES DE TORSION COUPLÉS
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PENDULES DE TORSION COUPLÉS. Page 1 sur 3 OSCILLATEURS MÉCANIQUES HARMONIQUES COUPLÉS. But du TP : Dégager les caractéristiques essentielles d'un système de deux oscillateurs harmoniques couplés, dans le cas d'un coefficient de couplage faible. Visualisez les battements et les modes propres d'oscillations. I : Les réglages préliminaires. 1°) Description du matériel. On dispose de deux pendules de torsion formés de deux solides S1 et S2 pouvant osciller dans un plan horizontal soumis à deux couples de rappel dus à des fils métalliques de constantes de torsion C pour les fils inférieur et supérieur, et C' pour le fil médian qui assure le couplage entre les deux pendules. S1 S2 C C C' aiguille métallique ? Les fils sont choisi de sorte que C' << C (couplage faible). Vérifiez que l'axe ? commun aux fils est bien vertical. 2°) Accord des pulsations propres de chaque pendule. Les barres sont lestées par des masselottes qui peuvent être déplacées. Vérifiez qu'elles sont bien symétriques par rapport à l'axe ? (pour que le centre d'inertie de chaque barre lestée soit sur ?). Vérifiez que les pulsations propres de chaque pendule sont identiques : pour cela, abandonnez les deux pendules sans vitesse initiale en les écartant au départ du même angle. Ils doivent alors osciller en phase. Ajustez le réglage des masselottes si nécessaire par tâtonnements.
Voir
- voies du boîtier d'acquisitions de données
- réponses harmoniques en ?1
- outils de traitement du logiciel
- axe ?
- réponse du système
- moment d'inertie négligeable
- rotation des barres s1
- fréquence fs des oscillations symétriques
PENDULES DE TORSION COUPLÉS. OSCILLATEURS MÉCANIQUES HARMONIQUES COUPLÉS. But du TP:les caractéristiques essentielles d’un système de deux oscillateurs Dégager harmoniques couplés, dans le cas d’un coefficient de couplage faible. Visualisez les battements et les modes propres d’oscillations. I : Les réglages préliminaires. 1°) Description du matériel. Δ Ondispose de deux pendules de torsion formés de deux C solides Set Spouvant osciller dans un plan horizontal 1 2 soumis à deux couples de rappel dus à des fils métalliques de S 1 constantes de torsion C pour les fils inférieur et supérieur, et C’ C’ pour le fil médian qui assure le couplage entre les deux pendules.S 2 C aiuille Lesfils sont choisi de sorte que C’ << C (couplage faible).métallique Vérifiezque l’axeΔcommun aux fils est bien vertical. 2°) Accord des pulsations propres de chaque pendule. Lesbarres sont lestées par des masselottes qui peuvent être déplacées. Vérifiez qu’elles sont bien symétriques par rapport à l’axeΔ(pour que le centre d’inertie de chaque barre lestée soit surΔ). Vérifiezque les pulsations propres de chaque pendule sont identiques: pour cela, abandonnez les deux pendules sans vitesse initiale en les écartant au départ du même angle. Ils doivent alors osciller en phase. Ajustez le réglage des masselottes si nécessaire par tâtonnements. Les2 pendules de torsion ont alors le même moment d’inertie J par rapport àΔ. Chaquebarre Sou Sforme un pendule de torsion de constante de torsion C+C’, de 1 2 moment d’inertie par rapport à l’axeΔde rotation J et constitue un oscillateur harmonique de C + C' 2 pulsationω= . 0 J 3°) Le dispositif d’acquisition. 6 V Uneaiguille métallique solidaire de la barre inférieure S, de 2 moment d’inertie négligeable effleure la surface libre d’une solution électrolytique de sulfate de cuivre contenue dans le récipient de forme diédrique dont les armatures externes sont Ο soumises à une d.d.p. continue de 6V. Lamasse dumontage (niveau zéro des potentiels) sera YD0choisie auOpoint milieude la cuve. Ajustezla position de la cuve pour que son centre de courbure soit exactement sur l’axeΔde rotation des pendules. L’aiguillese porte au potentiel du point du liquide avec lequel elle est en contact. Comme les surfaces équipotentielles sont des plans passant par le centre de courbure, le potentiel de l’aiguille sera proportionnel à l’angle de déviation. L’élongationangulaireθ(t) est convertie en tension u(t) par ce dispositif. Injectez cette ddp sur une des voies du boîtier d’acquisitions de données (vérifier que la carte ORPHY GTI II est sous tension). LancezCABALAB pour GTI IIet cliquez surTRANSITOIRES, EXAO LENT. Ouvrezégalement le logicielREGRESSI pour un traitement ultérieur des données. Bien positionner l’aiguille et la cuve pour avoir u = 0 à l’équilibre du système. Page 1 sur 3
PENDULES DE TORSION COUPLÉS. II : Étude théorique des oscillations couplées. 1°) Mise en équations. Ledispositif est réglé de sorte qu’à l’équilibre, les fils ne sont pas tordus. La rotation des barres Sou S, par rapport à leur position d’équilibre, est notéeθouθ. 1 21 2 Enappliquant le théorème du moment cinétique projeté sur l’axe de rotation à chaque solide, 2 ⎧ dθ2 2 1 +ω θ- Kω θ= 0 0 10 2 2 ⎪C' dt vous pourrez montrer (hors TP) que l’on obtient :, avecK =. ⎨ 2 C + C' dθ2 2 ⎪2 +ω θ- Kω θ= 0 0 20 1 2 ⎪ ⎩dt Onpeut remarquer ici que les deux équations sont les mêmes au signe près et que l’on pourrait facilement découpler le système par somme et différence des équations. Toutefois,nous allons profiter de cet exemple simple pour détailler la marche à suivre lors de la résolution d’oscillations couplées quelconques. 2°) Recherche des modes propres. Lalinéarité du système différentiel suggère d’utiliser la méthode complexe. Oncherche des réponses harmoniques enθ(ouθ) sous la forme :(t) =Θ.exp(jωt). 1 2i i0 2 22 ⎧ω-ω θ- Kω θ= 0 (0)0201 0 ⎪ Ona alors à résoudre le système suivant:, qui n’aura de ⎨ 2 22 -Kω θ+ω-ω θ= 0 ⎪0 01(0)02 ⎩ solutions autres que la solution trivialeθ=θ= 0 que si son déterminant est nul. 1 2 Onen déduit les valeurs permises pourωqui constituent les pulsations propres du système : ω=ω1- Kω=ω1+ K 1+ 02+ 0 ω= -ω1- Kω= -ω1+ K 1- 02- 0 Cesvaleurs permises fixent le rapport des amplitudesΘ etΘ. Ainsi, en reportant 01 02 chaque valeur deωdans le système linéaire précédent, on vérifie que : ΘΘ =; on pa -Pourω=ω1- K:01 02rle demode symétriqued’oscillations, 1+ 0 -pourω=ω1+K:−ΘΘ =; on parle demode antisymétriqued’oscillations. 2+ 001 02 3°) Le rôle des conditions initiales. Lasolution générale est une combinaison linéaire des modes propres d’oscillations, qu’on ⎧θ(t) =θexp(jωt) +θexp(-jωt) +θexp(jωt) +θexp(-jωt) 1 01+1+ 01-1+ 02+2+ 02-2+ peut écrire sous la forme :, ⎨ θ(t) =θexp(jωt) +θexp(-jωt) -θexp(jωt) -θexp(-jωt) ⎩ 1 01+1+ 01-1+ 02+2+ 02-2+ les valeurs des différentes constantes étant fixées par les conditions initiales. Si,en particulier, on suppose les vitesses initiales nulles, ce que l’on réalisera toujours par la ⎧ Θ 0S θ=θ= 01+ 01-⎪2 suite, on vérifie facilement que l’on obtient. ⎨ ⎪ 0A θ=θ= 02+ 02-⎪ ⎩2 ⎧θ(t) =Θcos(ωt) +Θcos(ωt) 1 0S1+ 0A2+ D’oùla réponse du système :. ⎨ θ(t) =Θcos(ωt) -Θcos(-ωt) ⎩ 1 0S1+ 0A2+ Les mouvements de chaque oscillateur résultent ainsi de la superposition d’un mouvement symétrique et d’un mouvement antisymétrique, dont les amplitudes respectives dépendent des élongations initiales. Page 2 sur 3
PENDULES DE TORSION COUPLÉS. III : Étude expérimentale. 1°) Enregistrement des modes propres. ¾ Cesmodes seront facilement détectables car ils correspondent à une oscillation sinusoïdale pure de chaque pendule correspondant àΘnul pour le mode symétrique et 0A Θnul pour le mode antisymétrique. 0S Les conditions initiales seront donc : -le mode symétrique : écartement initial identique des deux pendules. Pour -: écartement symétrique des pendules par rapport à la Pour le mode antisymétrique position d’équilibre. Visualisez chacun de ces deux modes propres (adaptez la durée de l’acquisition pour avoir une dizaine de périodes). Lemode antisymétrique est le plus délicat à lancer : pas de vitesse initiale et des amplitudes opposées. Observez bien les pendules pendant quelques secondes avant de lancer l’acquisition : les pendules doivent osciller constamment en opposition de phase. Sauvegardezles deux courbes (nommez les SYM et ASYM par exemple) et exploitez les outils de traitement du logiciel pour déterminer la fréquence fdes oscillations symétriques et la S période fdes antisymétriques. A Endéduire une première valeur du coefficient de couplage K. ¾Analyse harmonique. Ils’agit de déterminer le spectre en fréquences des signaux que vous venez d’enregistrer. Utilisez l’analyse harmonique des signaux SYM et ASYM sous Synchronie. Commentez les résultats obtenus. 2°) Enregistrement des battements. Cemode correspond àΘ=Θ. Il est obtenu pourθ=θetθ=0. 0A 0S2010 0 Enregistrezce mode et interprétez la courbe obtenue (pensez à transformer les expressions deθ(t) etθ(t) en produit et tenez compte du fait que K << 1). 1 2 Déterminezà l’aide du logiciel les deux fréquences très différentes qui apparaissent: une fréquence haute fdes oscillations et une fréquence beaucoup plus basse fdite fréquence de m B battement. f +f f- f S AA S Comparez-lesà leurs valeurs théoriques :f =et f =. m b 2 2 Endéduire une autre méthode de détermination du coefficient de couplage K. Justifiez pourquoi cette méthode est plus précise que la précédente. Faireégalement l’analyse de Fourier des battements: vous devez observer deux pics: mesurez en les fréquences. Comparez ces valeurs aux valeurs théoriques des fréquences des modes symétrique et antisymétrique.
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