Micro-optimisation de forme et minimisation de la traînée

Modélisation de l’effet de rugosité
Application à la réduction de la traînée
Étude numérique en dimension 2
Micro-optimisation de forme et minimisation de la
traînée
Matthieu Bonnivard
Novembre 2011
Matthieu Bonnivard Micro-optimisation de forme et minimisation de la traînéeModélisation de l’effet de rugosité
Application à la réduction de la traînée
Étude numérique en dimension 2
Motivation
Une paroi rugueuse peut-elle améliorer le déplacement d’un solide
dans un fluide?
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Application à la réduction de la traînée
Étude numérique en dimension 2
Problèmes à résoudre
1 Comment décrire l’effet des rugosités sur l’écoulement du
fluide?
2 Peut-on « jouer » sur les rugosités pour faire diminuer la
traînée?
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Application à la réduction de la traînée
Étude numérique en dimension 2
Plan de l’exposé
1 Modélisation de l’effet de rugosité
2 Application à la réduction de la traînée
3 Étude numérique en dimension 2
Matthieu Bonnivard Micro-optimisation de forme et minimisation de la traînéeModélisation de l’effet de rugosité
Exemples d’effets de rugosité
Application à la réduction de la traînée
Description générale de l’effet de rugosité
Étude numérique en dimension 2
Plan de l’exposé
1 Modélisation de l’effet de rugosité
Exemples d’effets de
Description générale de l’effet de rugosité
2 Application à la réduction de la traînée
Traînée réelle et traînée effective
Existence d’une micro-structure optimale
3 Étude numérique en dimension 2
Écriture du problème d’optimisation
Exemples de frottements optimaux
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Exemples d’effets de rugosité
Application à la réduction de la traînée
Description générale de l’effet de rugosité
Étude numérique en dimension 2
Cadre général
Suite de domaines rugueux ( ) , de parois" ">0 "
Domaine
régulier, de paroi , t.q.

!
en un certain sens géométrique"
1u 2H ( ) t.q. u n = 0 sur" " " " "
1u2H ( ) t.q. u *u"
Quelle condition aux limites satisfait u sur ?
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Exemples d’effets de rugosité
Application à la réduction de la traînée
Description générale de l’effet de rugosité
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Plan de l’exposé
1 Modélisation de l’effet de rugosité
Exemples d’effets de
Description générale de l’effet de rugosité
2 Application à la réduction de la traînée
Traînée réelle et traînée effective
Existence d’une micro-structure optimale
3 Étude numérique en dimension 2
Écriture du problème d’optimisation
Exemples de frottements optimaux
Matthieu Bonnivard Micro-optimisation de forme et minimisation de la traînée="
2(x ;x ;’ (x ;x ))j (x ;x )2 (0; 1)1 2 " 1 2 1 2

="
2(x ;x ;x )j (x ;x )2 (0; 1) ;1 2 3 1 2
1<x <’ (x ;x )g3 " 1 2
Modélisation de l’effet de rugosité
Exemples d’effets de rugosité
Application à la réduction de la traînée
Description générale de l’effet de rugosité
Étude numérique en dimension 2
Configuration simplifiée
2= (0 ; 1) f0g
2
= (0; 1) ( 1; 0)
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Exemples d’effets de rugosité
Application à la réduction de la traînée
Description générale de l’effet de rugosité
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Configuration simplifiée
2= (0 ; 1) f0g
2
= (0; 1) ( 1; 0)
="
2(x ;x ;’ (x ;x ))j (x ;x )2 (0; 1)1 2 " 1 2 1 2

="
2(x ;x ;x )j (x ;x )2 (0; 1) ;1 2 3 1 2
1<x <’ (x ;x )g3 " 1 2
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Exemples d’effets de rugosité
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Effet d’adhérence
Condition d’adhérence : u = 0 sur
cas périodique :
x x1 2 2’ (x ;x ) ="’( ; ); ’ périodique sur [0; 1]" 1 2 " "
sans direction d’invariance
Casado-Díaz, Fernández-Cara et Simon,
Why viscous fluids adhere to rugose walls : a mathematical
explanation, Journal of Differential Equations, 2003.
Bucur, Feireisl et Nečasová,
Influence of wall roughness on the slip behaviour of viscous fluids,
Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 2008.
Matthieu Bonnivard Micro-optimisation de forme et minimisation de la traînée