Méthode N°30: Représentation matricielle en dim finie

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erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S27 NB : cette ﬁche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´REPRESENTATION MATRICIELLE EN DIMENSIONS FINIES Calculer le rang d’une matrice Le rang d’une matriceA est invariant par op´erations´el´ementairessur les lignes et sur les colonnes. Pour d´eterminer le rang de A 1 j’´echelonne A par la m´ethode du pivot de Gauss 2 le rang de A et de la matrice ´echelonn´ee ainsi obtenue co¨ıncident. Construire et utiliser la matrice repr´esentative d’une famille de vecteurs ´Etant donn´ee une base E de E et A = (~a ,...,~a ) une famille de p vecteurs de E , pour d´eterminer la matricen 1 p n A =M (A), repr´esentative de A dans la base E :E 2 je range les coordonn´ees de ces vecteurs en co-1 je d´ecompose~a , ...,~a dans la base E1 p lonnes pour avoir la matrice ~a = a ·~e + · · ·+a ·~e1 1,1 1 n,1 n   a a ... a1,1 1,2 1,p~a = a ·~e + · · ·+a ·~e2 1,2 1 n,2 n a a ... a 2,1 2,2 2,p  .  A = M (~a ,...,~a ) =. . . .E 1 p  . . . .. . . ~ap = a1,p ·~e1 + · · ·+an,p ·~en. a a ... an,1 n,2 n,p Exercice 1 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 etB = (~e ,~e ,~e ) une base de E. On pose~ε =~e +~e +~e ,1 2 3 1 1 2 3 ′~ε = 2~e −~e −~e et ~ε =−~e +2·~e −~e . Montrez que B = (~ε ,~ε ,~ε ) est une base de E.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S27

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesﬁcteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
´
REPRESENTATION MATRICIELLE EN DIMENSIONS FINIES

Calculer le rang d’une matrice
Le rang d’une matriceAnaptrapoe´aritnoestinvarigilselrurustesenme´eels´ssreaintreim´dteenrolonlescPournes.
le rang deA
1ehcennole´’jAth´eedodpaamrlupivot de Gauss
2le rang deAtdelamate¨ıcoueenbtionsaiee´nnolehce´ecirne.tcndi
Construireetutiliserlamatricerepr´esentatived’unefamilledevecteurs
´
Etantdonne´eunebaseEdeEnetA= (~a1a~p) une famille depvecteurs deEnpo,´drureteenimmalrectair
A=ME(A,)eredeativsentpr´eAdans la baseE:
1dejeosmpco´e~a1, . . .,~apdans la baseEl2onjenersdsce´neetcueseevgeleanrdonscoolrirtamecirsoupen co-
r avo a
a1=a11∙e1+∙ ∙ ∙+an1∙en
~ ~ ~
a2=a12∙e~1+∙ ∙ ∙+an2∙~enaa1211aa2122aa12pp
~
=
.A=ME(~a1~ap)
~ap=a1p∙e~1+∙ ∙ ∙+anp∙e~nan.1an.2 a  n.p

Exercice 1 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 etB= (e~1e~2e~3) une base deE. On pose~ε1=~e1+e~2+~e3,
~ε2= 2e~1−e~2−e~3etε~3=−~e1+ 2∙~e2−e~3. Montrez queB′= (~ε1~ε2~ε3) est une base deE.´rpe:seonreceriatamlevitatnese´rp
deB′ds la baseBestM=@0111−−211−−1211AvnO.ire´qeifeuRg(Meutn)=Pa3.onrceqs´Metssrbiniev’aprle.Dacar`eslsire´tcatamnoitaleelciriesassbde,B′est une
base deE.

Construireetutiliserlamatricerepre´sentatived’uneapplicationline´aire
Soita∈ L(Ep Fn),Eune base deEpetFune base deFnatamceriruoPte´dimrelren.A=MEF(ar)pe´rseneatitev
deadans ces bases

1moce´dejesopa(e~1 . .,), .a(e~p) dans la baseF2anerlegej´nnoeseecsrudroonoencnlos
~ ~ ~
+∙ ∙ ∙+an1∙fna1
a(e~1) =a11∙f~1+a21∙f~2~A=MF(a(~e1)     a(e~p))a211aa1222
a(~e2) =a12∙f1+a22∙f2+∙ ∙ ∙+an2∙fn

. . . . .=..
~ ~ ~
a(~ep) =a1p∙f1+a2p∙f2+∙ ∙ ∙+anpfnan1an2  
∙

a1p
a2p

.
anp

Exercice 2 :SoitE=R2[X] etfareplniepﬁpd’´acoanltii∀P∈E f(P) = (2X+ 1)P+ (1−X2)P′. 1. Mqf∈ L(E)
2.De´terminezlamatricerepre´sentativedefds la base can deE. 3.fest-il un automorphisme ?ope´r:esnieiferv´equnO.1f
estline´aire.Puisoncalculef(1) f(X) f(XDonce´ni´freeirua`.2lypoomnˆdeesgrde2lI.)ga’sedtiImf=Vect(f(1) f(X) f(X2)⊂E. Doncf∈ L(E).2. De plus en
1 1 0
rangeantencolonneslescoordonn´ees,ilvientMB(f) =@0111202A1.Doncntnoun)letmrnina3gnaredte´deduo(emttCe3.esceriatMest inversible et donc par la
caract´erisationdesautomf∈GL(E)
3−1 1
Exercice 3 :Soitf∈ L(R3ae`i´ocssatnemeuqinonac)A=10−0231. Montrez qu’il existe une baseB′= (~ǫ1~ǫ2~ǫ3)
telle queMB′(f) = Diag(422).:esnop´eranalyse :Suppose qu’une telle base existe. Alorsf(ǫ~1 ) = 4ǫ1 f(ǫ = 22 )~ǫ2 f(~ǫ = 23 )ǫ~3 . Ainsi~pe∈Ker(f−4id),
~ ~
~ ~3∈Ker(f−2idA.)aonl,cualsc`eKer(f−4id) =Vect(101) etKer(f−2id) =Vect`(110)(10−1)´. On pose~ǫ1 = (101)ǫ~2 = (110)ǫ~3 = (10−1).synth`ese
ǫ2 ǫpr
en caclulant le rang de la famille, on montre queB′tsebenu.esaeeiuqrefino´vuPsif(ǫ~1 ) = 4~ǫ1 f(ǫ~2 ) = 2ǫ~2 f(ǫ~ = 23 )ǫ~3 de sorte queMB′(f) =@040020001A.
0 2

Eﬀectuer un changement de bases
SoitBetB′deux bases d’unK-ev de dimension ﬁnieEn. On noteP=MB(B′)∈GLn(K) la matrice de passage
Lesmatricesrepre´sentatived’unendomorphismedeEdans les basesBetB′rapsee´iltnosMB′(f) =P−1×MB(f)×P
=242212101’endomorphisme deR3assco´i`eemqutaencaninoA. On note~ǫ1= (3−21),~ǫ
Exercice 4 :SoitAetfl2=
(−512),~ǫ3= (112) etB′= (ǫ~1~ǫ2~ǫ3). 1. Montrez queB′est une base deR3enzermiD´et.2.D=MB′(f). 3.Exprimez
−12 6
Andeail’`aedP DnetP−1.npoee´sr:1.P=MB(ǫ~1~ǫ2~ǫ =3 )0@−123−112251A1eqfiuevnO.ire´Pest inversible etP−0=1310@−505−55111AAinsi,
7

la familleB′

est une base deRvede.3.2aLamrtcirepe´rseneatitf

on tire successivementA=P×D×P−1

puisAn

=P×D

dans la baseB′

n×P−1.

estD=MB

′(f) =P−1AP

0
0
0

0
−1
0

0
0
5

A. 3. De la relation,D=P−1×A×P,

Voir