Méthode N°28: Applications linéaires

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

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TECHNIQUES & METHODES S25

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
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APPLICATIONS LINEAIRES

Reconnaıˆtreuneapplicationline´aire
•edsda`jxeselpmecojeainnlpcitaoisnil´naeesc´el`ebresd’apiae´nilsedserpp:aesironticaliKpdansKncanoniquement
´
associe´esa`unematriceA∈ Mnp(Kioatesndd´),iverseadsnopylˆnmoK[X], etc...
•de plus l’ensembleL(E FequesorteC-Ltoutlpci’dpasntaoislonticalippsade)l,deorievectpacenuseestsiaernie´
line´airesestaussiuneapplicationlin´eaire.
Maisenr`egleg´ene´rale,jemontrequefpesr´evrecselibmosian:siaernie´nols
2
1soit (y~x~)∈E2, (λ )∈K.
2je montre que
f(λx~+~y) =λf(x~) +f(y~)

C’estlame´thodelapluscourante.Elleestsouventtre`ssimple`mettreen
a œuvre.

Image et noyau d’une application lineaire
´
Commentd´eterminerlenoyaud’uneapplicationlin´eaire
Pourde´terminerlenoyaud’uneapplicationlin´eaire,jemerappellequ’unvecteur~x∈Eartiapp`tneaKerfsi et
seulement si~xest solution de l’ielleonvector´qeauit:

f(~x) =~0F

1jetraduiuqtaoiencsteete´een´s;oonconrd
2j’obtiens souvent unequaed’´t`emsyserse´ialsniitnoh´eerejqune`eogomla’la`ecaˆrgsuosogirhtemedaGsu;s
3uienuassllgeafimerat´en´dericeencollectantsuitnavvselairaselbbrli,jesbt’onsieKerf.
4desaesteeebunra´eictr´jeuqefiireamefttceeng´leilKerf.
e v
Commentd´eterminerl’imaged’uneapplicationlin´eaire
Pourde´terminerl’imaged’uneapplicationlin´eaire,jemerappellequeImfngtedrenep´elearseisamegdsu’en
~ ~
baseB= (b1     bn) deE.
En particulier, sif:Kp→Knantcesaune´ee`icematreuemnoqiosictnsaA∈ Mnp(K),Imfesteelsperarde´gnne
vecteurs (deKnan)cicossatnemeuqinolonnesde´esauxcoA.
Sinononpeutaussirevenira`lad´efinition:unvecteur~y∈Fetsmenee´´l’imatdelgedefsi et seulement si il
existe~x∈Esolution de l’e´uqtaoivncetorielle:
f(~x) =y~

1ejdartcsiuettequ´eioatncnerdooseen´on
2j’obtiens souvent unrise´naensliatio´equmed’e`tsys´’ceuqje.ssuedohaGedlaaretm´loheepnn
3le vecteur~yelystse`i’amegisestdanslunetboemtsecompatibleatio´equxilinsauuqteolsrlsseuoetC’.asectleserias
sontve´rifie´es!

Exercice 1 :SoitE=Rn[Xnit.]nO´dfieu:E→R[X] par :

∀P∈E u(P)(X) =−nX P(X) +X2P′(X)

1.Ve´rifiezqueuest un endomorphisme deEteonamegay.uterm.D´e-eniinez2.:seon´rpe1.uios:eria(t´eintlesP Q)∈E2(λ µ)∈R2.
On au(λP+µQ) =−nX(λP+µQ)(X) +X(2λP+µQ)′(X) =λ`−nX P(X) +X2P′(X)´+µ`−nX Q(X) +X2Q′(X)´=λu(P) +µu(Qrouipravtnate´iceC.)
tout (P Q)∈E2(λ µ)∈R2na,oneibtnomqe´reuuestlin´eaire.2.V´refioisnuqeuest un endomorphisme deE. Vu la question suivante, je calcule l’image. Je sais que
Imu=Vect(u(Xk)1≤k≤n). Oru(1) =−nX,u(Xk) =−nXk1++kXk+1=(k−n)Xk+1,u(Xn) = 0. Finalement,Imu=Vect{X X2     Xn}. En particulier,
Im(u)⊂E,uest bien un endomorphisme deEioS.uayoteretd´`aenrlnemiseet3.R.P=Pkn=0ak Xk. On aP∈Keru⇐⇒u(P) = 0⇐⇒Pnk=0ak(k−n)Xk+1=0
Cettee´quationpolynomialesetraduitpar(identificationdescoeff):P∈Keru⇐⇒a0 =a1 =  =an−1qeeutn,aPcrno´sKeru=Vect(Xn).
= 0

Commentde´montrerqu’unepartied’unespacevectorielestunsous-espacevectoriel
Auxm´ethodesvuesauchapitrepr´ece´dent,viennents’ajouterdeuxnouvellestactiquesutilisantlenoyauetl’image
d’uneapplicationline´aire:

SoitE,Fdes espaces vectoriels etf∈ L(E Feredu)paeninnlai´eicplioatEdansF.
•oPniquationstdevue´e
SiA⊂Etaoilnniurene´uqd´efinipaestai´ereg`moeenhoA={x~∈E|f(x~) =~0F}, alorsA=Kerf
sous-espace vectoriel deE.1

est un

•ntoiPegarte`marapeuved
SiA⊂Ftd´efinipes´mtearegranuaparen´liireaA={f(~x) ;~x∈E}={y~∈F| ∃x~∈E;y~=f(x~)}, alors
A=Imfest un sous-espace vectoriel deF.
Applicationsline´airessurjective,injective,bijective
Commentd´emontrerqu’uneapplicationlin´eaireestsurjective
◮pnrataoiresica´tacariselutilJ’qerteud´jeonemiml’e:agImf=F
Ils’agitd’une´egalite´ensemblisteentresous-espacesvectoriels,jepeuxproce´derpardouble-inclusion(F⊂Imf
suffitpuisquel’autreinclusionest´evidente!)
◮litu’jisert´acaracelisationparlesbasess:iBest une base deE, il s’agit de prouver quef(B) engendreF.

Commentd´emontrerqu’uneapplicationline´aireestinjective
◮tu’Jverquetiedrpuo,uli’sgalearyanoatisnpiocarare´tsilicaleKerf={~0E}
~
Pourcela,ilsuffitded´emontrerqueKerf⊂ {0E}:

Soit~x∈E, tel quef(~x) =~0F1. Je montre que~x=~0E.

Commentde´montrerqu’uneapplicationline´aireestunisomorphisme
Plusieursstrate´giessontpossibles,jepeux

◮

◮utiliser lairastce´acarsesesbaparltion: siBest une base deE, il s’agit de prouver quef(B) est une base deF.
◮d´emontrtseeala`uqrelle’ivcttseeisfojeinctivurjemeciecomus.sd-se
trouveruninverse(`agaucheeta`droite!!!)(exemple :sE1E2est un automorphisme deE.)
utiliser une relation polynomiale, pour prouver quefest un automorphisme.
Exemples d’applications lineaires
´

◮

Applicationsline´airescanoniquementassoci´ees`aunematrice
Soitf:Kp→Kntrmaeicosrapee´sserpxennndoocsnassieralrtiunalyionae.JetiquAnemessat´icoa`eenocaquni
f.
Inversement,´etantdonne´eunematriceA∈ Mnp(Keuctmaripage’arlroocnnodsee´evudesaiscalculerles)j,acitppilno
lin´eairecanoniquementassocie´e,de´terminerunefamilleg´en´eratricedeImf.

Exercice 2 :Soitf:R3→R2,f(x y z) = (2x+y−z x−y+ 2z)ede´tivictjeurastleet´viceiti’jne´l,ratiin´ezlaludie.´Et
f.n:oepse´rfnoqieuemtnsaosic´ee`altseppa’acilontin´liireaanecA=„21−11−12«. Le noyau defest l’ensemble des solutions du SELAX0=,A.sr´epr`etionsolu
Kerf=Vect{(−153)}.Imf=Vect{(21)(1−1)(−12)}=R En particulier,2 .fest surjective et non injective.

Comment´etudierunprojecteur
Pourd´emontrerqu’unendomorphismefests´seernnntme´eelcejorpnuodteruetes,csraca´tresiituq
1jev´erifiequef◦f=f
2neejte´dimreE1=Imfen me rappelant qu’il s’agit du sev des invariants :Imf=Ker(f−idEe´rej,alecruoP.)sous
l’´equationvectoriellef(x~) =~x.
3eretnemid´jeE2=Kerfe´rnvloseef(~)~0E
ant l’´ uation vectoriellx=
eq
4en ce cas,fest la projection deEsurE1plarale`lnemeat`E2.
Commente´tudierunautomorphismeinvolutif
Pourd´emontrerqu’unendomorphismefseeetdetrisym´tunemenee´´lsrsenoenri´eiqstcatsctra,seu
1ire´uqefievejf◦f=idE
2jed´etemrnieE1=Ker(f−idEellenvectori´equatioloavtn’l)ne´rsef(x~)~
=x
3edejte´einrmE2=Ker(f+idEelleirotnvecatio´equntl’loav´rse)nef(x~) =−x.
~
4en ce cas,ftlesasym´etriedeEarppro`taparE1pralaell`enemat`E2.

1i.e.x∈Kerf
~

2