Méthode N°15: Structures algébriques fondamentales

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

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TECHNIQUES & METHODES S13 Bis

semaine du 3+14 janvier 2012

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
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STRUCTURES ALGEBRIQUES FONDAMENTALES

Lois de composition interne
Commente´tudierunelci?
Pour´etudierunel.c.i.⋆:E×E→E, vous devez :
0ga’sli’u’dneibtivrqfieri´esoe´.c.iunelcomp.:lex ⋆ yd´xledeueeeme´dstnEjoous`urntielt-ipatrapaE?
1fiireis´vre⋆ ;est commutative
2ivsrefiire´⋆est associative ;

3lexi:s’iilsaste,iatitfsifierv´utrentne´emen´eldeu’etcnxesire’l∀x∈E x ⋆ e=e ⋆ x=x
4d´nemieret´le´selrnistnemeversiblesxesslt`ysedemnc’iunnoe:cesonctuepxuolrseuqley∈Ey⋆x⋆xy==ee
admet une solution.
Commentcalculerlesite´re´sd’un´ele´ment?
Vous pouvez :
•calculerx2,x3;
•conjecturer l’expression dexnen fonction den∈N;
•encecurr.italerete´rrapnomo´edetrcrent
Groupes
Commentde´montrerqueHest un sous-groupe deG
C’estlaquestionbasique.Pouryrepondre,ils’agitdeve´rifierd’apre`slasoupes-grssuonoedasite´irctracaque
´

(SG1)•H6=∅(1G∈H)
−
(SG2)• ∀(x y)∈H2×H xy1∈H
Pouralle´gerlesv´erifications,onutiliseaussiparfoislaversionsuivante:

(SG1)•H6=∅(1G∈H)
(SG21)• ∀(x y)∈H2×H x×y∈H
(SG22)• ∀x∈H×H x−1∈H
Parfois, on peut aussi utiliser les pistes suivantes :
◮Hnuomua’dmsdeprihupesegro?estd´ecritenpmoche´risnes:nogi’aitrald-ioyun
◮Hstd´eenetircenoisnetxragi’a:selld-iitsepu?demsorgemounhirpma’id’ge
En ce cas, on sait que l’image et le noyau d’un morphisme sont des sous-groupes.
Remarque :epselpruovuoruqreuiituassostndose´ethCesmHest un groupe !
Nb :´tpepepuorg-susnutseseilisreutl’or´e`aeullevtnˆttemenersectionedcedeaulxasvolfeiaqteu’lniet
ous-grou u e
l’accord du jury (cette proposition n’est pas au programme !)
Morphismes de groupes
Comment reconnaˆıtre un morphisme de groupes
Pour d´ ontrer qu’une application entre deux groupesGetG′romnutse,vmeisphlitisuoueslzdae´nfitioi.nIls’agit
em
dev´erifierquefest compatible avec les lois de ces groupes.
Remarque :,oupedegrismeorphmnuerteˆruopfasriceseti´nodertuederoyneleenemnvteGsur le neutre deG′!

Commentde´terminerlenoyaud’unmorphismedegroupes
Pard´efinition,Kerf={x∈G|f(x) = 1G′}.d´etPourimrerenKerf, vous devez donc :
•’inconnueduer’le´uqtaoidnrso´ex∈G,f(x) = 1G′
•Kerfest l’ensemble des solutions de (E).

(E)

Commentde´montrerqu’unmorphismedegroupesestinjectif
Vous utilisez le noyau deflI.’dtiga’spa`rsealdesmorphrisationacartce´itcesfemsijnisde prouver queKerf=
{1G}. Comme 1Gairecesstn´etienppraaeduayonuatnemG, une seule inclusion suffit :
Soitx∈Kerf,i.e.f(x) = 1G′.
Ils’agitdev´erifierquex= 1G.
1

Anneaux et corps
Commentd´emontrerqueBun sous-anneau ?
Pourd´emontrerqu’unepartieBounsuu,oauneans-litusuov,sproc-stiqu´emasystisezac-ltsemeneseutsnuo
racte´risations.
Comment montrer queBest un sous-anneau deA
•(SA0) montrer queB⊂A
•(SA1efiire´v)1uerqA∈B
•(SAreuqrefii´)e∀(a b)∈B×B a−b∈B
2v
•(SA3uefier)qv´eri∀(a b)∈B×B a×b∈B.
Cetteme´thodes’appliqueaussipourve´rifierqueBest un anneau. Il s’agit alors de«deviner»un anneauAdontB
seraitunsous-anneauetd’appliquerlacaracte´risation.
Comment montrer que L est un sous-corps de K
•(SC0) montrer queL⊂K
•(SC1uerq1e´v)efiirK∈L
•(SC2equerivfi´er)∀(a b)∈L×L a−b∈L
•(SC3v)uefierq´eri∀(a b)∈L×L⋆ a×b−1∈L.
Comment calculer dans un anneau ?
Lescalculsdansunanneau,sonttre`sprochesdeceuxdansRouC`iqleua`e´geser:vite.peceyaIluetqannd
s p
•anneau n’est pas toujours commutatif. Lorsque vous utilisez lesun eformulesdubinˆomet autres´esiedtnti
g´eom´etriquesevefiiralczmeritqenleueels´me´eeuovtnqssndisuoczcom´erent.mute
´
•laurltmuabifipole!noilpiitacestpasinonnul–n’n,similpevsrbielnanusnadtuotuaeneneml´´eenemmˆt–
•nanusnureela’uqnucufsedetcaentrˆeutpeitdurotnatuaruopsnaslutoujtpasn’esneauU!pngeerni`tuosr
soit !
Grou´etrique
pe sym
Commentd´ecomposerunepermutationenproduitdetranspositions
Plusieurs techniques sont possibles :
cyceelopmolresurPoecd´c=a1a2a3  apen produit de transpositions, vous utilisez
a1a2a3  ap=a1a2◦a2a3◦    ◦ap−1ap

mooPorpu´dceenepesuratiormutnσquelconque, vous«redressez»σe´apurenusccseisondetrans-nleitntde’i
positions :
τN◦    ◦τ2◦τ1◦σ=id
Comme chacune des transpositionsτiulitniovetsisdu´endseou,vveixuatnassapne–zequenverses–



σ=τ1◦τ2◦    ◦τN

Pourd´ecomposerunepermutationenproduitsdecyclesa`supportsdisjoints,riendeplussimple,maiscen’est
pas au programme.

Comment calculer la signature d’une permutation
deretunaigas,lpard´efinitionσest (−1)I(σ)rtuoT.esiersdoni’vnrbdenemoenlrermid´etnt`aevieσ. Par ce faire,
vousajoutez,pourchaquetermedeladeuxie`meligne,lenombredevaleurs`asadroitequiluisontstrictement
infe´rieures.
la signature d’unpcycle estp−1. En particulier, la signature d’une transposition est−1.
mpxerePai,sle`al’tiond’unaideocpmdee´oi.nsoticualrlleigastuna’dertenusnarisopovsuopvuzeuassciσ=
σ2◦σ1, alors
ε(σ) =ε(σ2)×ε(σ1)
car la signatureε:Sn→ {−11}est un morphisme de groupes.

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