Méthode N°11: Géométrie élementaire de l'espace

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+14 janvier 2012 ´TECHNIQUES & METHODES S10 NB : cette ﬁche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´ ´ ´ ´GEOMETRIE ELEMENTAIRE DE L’ESPACE Relations de d´ependance lin´eaire entre vecteurs Comment utiliser les propri´et´es essentielles des produits scalaires, vectoriels et mixte Soit ~u,~v,w~ trois vecteurs de E. On sait que • ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si (~u|~v) = 0. ~• ~u et ~v sont colin´eaires si et seulement si ~u∧~v = 0 • ~u,~v et w~ sont coplanaires si et seulement si Det(~u,~v,w~) = 0. NB : pour voir se deux vecteurs sont colin´eaires, c’est tr`es simple : leur coordonn´ees dans une base sont proportion- nelles! Comment calculer les trois produits Pour calculer les produits scalaire, vectoriel ou mixte, ~• le plus simple est de se placer dans une BOND (~e ,~e ,~e ) de E. En ce cas, si ~u,~v et w~ sont donn´es par1 2 3 ! ! ! u v w1 1 1 u v w~u ~v w~ , on a :2 2 2 u v w3 3 3 • ~u·~v = u ×v +u ×v +u ×v1 1 2 2 3 3 u v u v u v2 2 1 1 1 1 • ~u∧~v = ·~e − ·~e + ·~e1 2 3 u v u v u v3 3 3 3 2 2 u v u v u v2 2 1 1 1 1 • Det(~u,~v,w~) = ·w − ·w + ·w1 2 3 u v u v u v3 3 3 3 2 2 Nb : pour le calcul du d´eterminant, pr´eferez le d´eveloppement en ligne ou en colonne `a la r`egle de Sarrus.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S10

semaine du 3+14 janvier 2012

NB :ssiaerseunse´ecceercheﬁtteldnerpeqinhcetsminimales;elleneccnodusaptsnoeutimaf,unisbjnotiecsi!eruqrpe´
´ ´ ´ ´
GEOMETRIE ELEMENTAIRE DE L’ESPACE

Relationsdede´pendancelin´eaireentrevecteurs
Commentutiliserlespropri´ete´sessentiellesdesproduitsscalaires,vectorielsetmixte
Soitwv~~~utrois vecteurs deE. On sait que
•~uet~vsont orthogonauxsi et seulement si(~u|~v) = 0.
~
•uetv~sreaie´niloctnossi et seulement siu~∧v~= 0
~
•~u~vet~wsont coplanairessi et seulement siDet(vw~u~~) = 0.
NB :prsoirvoucevxuedenossruetrceurdoon´onsdeeusnaabenosesrptntcolin´eaires,c’sett`rseispmell:-itnoporo
nelles !
Comment calculer les trois produits
Pour calculer les produits scalaire, vectoriel ou mixte,
~
•plus simple est de se placer dans une BOND (le ~e1~e2~e3) deE. En ce cas, si~v~uet~wpsranne´ntdoso
u1
u3!~vvvv132!~wwww213!, on a :
u u2
~
•u~~v=u1×v1+u2×v2+u3×v3
~∧~v=u2v2e~1−u1v1e~2+u1v1~e3
•u
u3v3u3v3 u2v2
•Det(u~u~~2v2w1−u1v1w2+u1v1
v w) =u3v3 u3v3 u2v2w3
Nb :alarnne`coloouen.sraurdeSee`lgrlecalcupoumrnina,tdldue´etedzlve´e´eprrefelnetengippolneme
•vutsiuszaveouspouirpporpselresili´mteitysir.ee´´tseofdnmaneatlesdecesproduitslum,ilitae´n´tirsye,etm´e,rianou
•rveauxdeniriton´eﬁnuqsrol,ssenneireonefblemernnioct...
Equationscarte´sienne,systemesd’´equationsparam´etrique
`
Commentde´terminerunee´quationcart´ienned’unplan
es

◮SiP´dnnetse`peerAu~1u~2ou,vbtsoezene´un)enne`al’aidedeqeauitnoactre´is
o e par un r
−−→−−→
M⇒⇐P∈MAu~1u~2sont coplanaires⇐⇒Det(uMA~1u~2) = 0
◮SiPointdrounnpn´eesptaAdedene`al’aieqe´unezenbtsoouneise´tracnoitauetulav,onmretruvnce
−−→−−→
M∈P⇐⇒nMA~sont orthogonaux⇐⇒(AM|~n) = 0

Cotd´terminerunsyste`med’´equationsparame´triquesd’unedroite
mmen e
SoitDdrlaioeter´pree´peralepointAxyAA!et le vecteur non nul~uαβ!ou.Vbtsonoitauqe´d’me`estsyunezen

zAγ
parame´triquesdeDl’ai`aeded
x=xA+α t
Mzyx!∈ Dsi et seulement siil existet∈R e; tz=zA+γ t
el quy=yA+β t
Commentd´eterminerunrepe`red’unedroitedonne´eparsyst`emed’e´quationscart´esiennes
SoitDequationscart´esiaepnunressnsy`tmede´’teoineaﬃ´e,dieﬁnurden
a1x+b1y+c1z=d1

a2x+b2y+c2z=d2

Lorsque les vecteurs~n1(a1 b1 c1) et~n2(a2 b2 c2entnos)no´naeociletiordenre`peredls,iesir’utdgi’aA~u).
1On trouve un pointAdeDenr´eesysnme`tvlosutnaaa12xx++bb12yy++cc21zzx0===dd12ouaa12xx++bb21yy++cc12yzz
2Un vecteur directeur deDestu~=~n1∧~n2.1

=
=
=

0
d1
d2

Calculm´etriques
Comment calculer une distance
SoitPun plan aﬃne deE(ere`erepd~Av1v~2) de vecteur normal~n´esienned,´’qeauitnoactrax+by+c=detD
ladroiterepe´reepar(A u). Pour tout pointM∈E, on a :
´~

−−→−−→
~ ~ AM ~
n
•d(MP)Det(AM  v1 v2)  |ax+by+cz−d|
= = =
k→~v1∧k~v2k knka2+b2+c2
−−
•d(MD) =kAku~Mk∧u~

Commentde´terminerunelongueur,uneaire,unvolume
Ils’agitd’utiliserlesinterpre´tationsg´eom´etriquesdesproduitsscalaire,vectorieloumixte:
• k~u∧v~kemmasnociurtrustets’liareduparall´elogr~uet~v.
• |Det(wv~~u~)|ocede`pistiurtsnureovultselparamedul´epll´ev~~uetw~.
De´termineruneintersection
te´einrmdeuszdvecesrnoit’lreetniroqseuovLiteedrod’unDtpenuvsostle,ireelbare´fe´ravechpe`nusenauonulp
d’obtenir
•eq’´tiuapaonm´rasnu`tsydemex=xAA++tαtγ
etriques deD,y=yA+β t
z=z
•est´arnceednnieenuoitauqe´Pou deS, par exemplex2+y2+z2−4x−4y−2z+ 8 = 0
puisderemplacerlescoordonne´esx,yetzpar leurs expressions en fonction det.

Commentde´terminerl’intersectiondedeuxplans
Pourde´terminerl’intersectiondedeuxplans
◮v
´eriﬁezs’ilssontparalle`lesentestantlacoline´arit´edeleursvecteursnormaux~n1et~n2.
◮s’in,ilsecaspaslnudetnneceetetsrarep´eigireditroloqursenecst’e~n1∧~n2.
Commentd´eterminerl’intersectiond’unesph`ereetd’unplan
Pourd´eterminerl’intersectiond’unesphe`reavecunplan,ouuneautresphe`re,utilisezlapropositionkivabien

Commentde´terminerlaperpendiculairecommune`adeuxdroites
Pourde´terminerlaperpendiculairecommunea`deuxdroites
1de´(sersrde`eeprmteezinA1v~1) et (A2~v2) de ces droites
2lucltnaszeeunoqcpetsseardi´overtenﬁsiles,encaparall`ev~1∧~v2
3dunezeqe´te´einrmisnetre´noacauitnedeP1=P(A1~v1v~1∧v~2) etP2=P
4la perpendiculaire commune de ces droites est Δ =P1∩ P2

(A2~v2~v1∧~v2).

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