Méthode N°10: Coniques

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S09

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
CONIQUES

´
Equationscarte´siennesdesconiques
Commentobtenirunee´quationcarte´sienned’uneconique?
Toutd´nddelad´efinitiondelaconiqueΓ!
epe
◮tseΓiSpeinfie´dfoyearunrF, une directriceDnoxeeste´ttnecicireorconndoduraenittno,slae´isneene´seactr
d´efinitionmonofocale:d(M F) =ed(M D).
◮unstΓeSiersxfoysdeuarseinpe´dfiepieseellF,F′et son grand axe 2ameueiqytefid´lantnoitintnaro,nalaudti
bifocaled(M F) +d(M F′) = 2a.
◮Si Γ est une hyperboleHnndoep´esearuedsyofxsreF,F′et son axe focal 2aalsee´nno,ordoencoduitntra
de´finitionbifocale|d(M F)−d(M F′)|= 2a.
Commentobtenirunee´quationcarte´siennedelatangente
SoitΓlacourbed’e´quationax2+bxy+cy2+dx+ey+f(u0,o`=a b c)6= (00ioputn0La).ngtateenΓa`a
M0(x0 y0´tseeinnepour´equationcara)
axx0+2b(xy0+x0y) +cyy0+2d(x+x0) +e2(y+y0) +f= 0
Cette´equationestobtenueapartirdel’e´quationdeΓpar«edd´blouetmrsemenedtse»:
`
•x2ety2osnlt’r´eemqpulaac´esdasnatgnneetitnoedalenM0parxx0etyy0;
•xetyuati’´eqansl´esdetnegnnealatnoedmertcalpnosM0par21(x+x0)12(y+y0) ;
•xylpcae´adsn’le´uqationdelatangentneemertseM0par21(xy0+x0y).
´
Etudedescourbesalg´ebriquesdedegr´e2

Pland’e´tude
SoitΓlacourbealge´briqued’´equationcart´esienneax2+bxy+cy2+dx+ey+f= 0 (K).
dans un rondR= (Oı~~bruocelletenu’deudet’´ndlaep.L)t:ivanlesueest
1anutrealmrnie´etederd;Γ
2queioat´enritduonetb’lrideΓe;
´
3;tsire´tcΓedseuqies´el´ementscararpe´iceslr
4inssdeesC’Γ.er´n!egtga
Commentd´eterminerlanatured’unecourbealge´brique
Pourd´eterminerlanaturedeΓ,jecalculelediscriminantassocie´:
◮si Δ =b2−ac= 0 la conique est de type parabole ;
◮si Δ =b2−ac < ;0 la conique est de type ellipse
◮si Δ =b2−ac >0 la conique est de type hyperbole.
Remarque :erulporttaˆhmevitenilnefautpasconc
•ecuniqondeueolabe;perauonuel,slle`paraitesedroiondnue´r,ediverteˆteu,pleborapapety
•creluonuni,tnuecide,unpoutˆetrevpillepestedeeepyconequniuespillee;
•pehyolrbe.e´sstnaco,seenuudedenionoiteuxdrueˆtlope´rueteertydeueiqrbpehypenocenu

Commentre´duirel’´equationcart´esienned’unecourbealg´ebrique
~ ~
C’estl’´etapelaplusimportantedel’´etudedeΓ.Ils’agitded´eterminerunrond,R′= (Ω I Jqe´’lleunoitaueqslan)d
deΓestr´eduite.Pourcela,
1’´eliminjmeernsedrobtseluotea’dtxyau moyen d’une rotation d’angleθ∈R:
~ ~ ~ ~
SoitI=~uθ J=v~θetRθ= (O I  Jrlae`peoeedpierrn)gl’aleθu`o,θctsesiohlediafa¸consuivante:
◮sia=c,θ=π4convient ;
◮sia6=c,θ=12Arctan (a b−c) convient.
2nette’dtpdnoemrecoesdoorrixprlmenne´se(Lemulesforahgndscedtremenex y) d’un point de Γ dansRen
fonctiondesescoordonne´es(X Y) dansRθ.
nXY==−ssinocxθxθsisn+c+oθyθy⇐⇒nxycoss=ni=XθθX+−cnsosiθYYθ
J’obtiensl’´equationdeΓdanslerepe`reRθna(senrempla¸cantdK),xetypar leurs expressions en fonction deXet
Y.
3rlniteoburpoueiqnonacemrofsuosnouatie´eqi`erdernteettncee´eseJrpereeΩdurep`l’originnne´seedseocrood
~ ~
R′= (Ω I J’´lluaeqslanueeqd)Γedeontiuiedr´st.et
1

Partantdel’´equationr´eduitedelaconique,onpeutpoursuivrel’´etudeende´terminantles´el´ementscaracte´ristiques.
Commentde´terminerlescaract´eristiquesd’unecourbeparabole
◮Sip >0ap,lqe´’itaubaradeloteeduionr´y2= 2px, admet pour sommetO, pour foyerF(p20), pour directrice
ladroited’e´quationx=−2.
◮Sip <ieparrapport`a(a0olsrapsrmye´rtOyontiuaeqteuiedr´rapal,)´’delobay2= 2pxadmet pour sommetO,
pour foyerF(p2on’´equatiordadetirtceleciou,pirrd0)x=−p2.
◮Sip∈R⋆larolspa,etiude´rnotiuaeq’´edolabary2= 2pxadmet pour sommetO, pour foyerF(0 p2), pour
directriceladroited’e´quationy=−p2.

Commentd´eterminerlescaract´eristiquesd’uneellipse
nre´ditx2yb22= 1 avec 0< b < aadmet
◮Si 0< b < a, on notec >0 tel quea2=b2+c2atio´eqused’llipeu’e.La2+
pour sommetsA′(−a0) A(a0) B(0 b) B′(0−b), pour foyersF(0 c) F′(0−c), pour directrices, les droites
x=±a2excreoutpcitinerte´e=ac.
c
◮Si 0< a < b uite, l’ellipsx2 2
ed’´equationre´da2+by21s=engeantlesrˆolesdy’ar`mneee´nceahxet dey, deaet
deb.

Commentde´terminerlescaract´eristiquesd’unehyperbole
◮Si >a b0, on notec >0 tel quec2=a2+b2itno´rdeiduee´t’qeauhyperbol.L’xa22−yb22= 1 a pour som-
metsA′(−a0) A(a0), pour foyersF(c0),F′(−csnoitauqe´’ertcruid,)op0tesddroislesricex=±ac2et pour
excentricit´ee=c.
a
2
◮Si >a buaeqontiedr´teui,0’lyhepbrlode´’−x2+yb22ˆlentesdle1=areseaucm`en´ec´aspret´ndenegnaeceah
s ro
a
xet dey, deaet deb.

Conique en polaires
Lame´thodeestparticulie`rementsimple:
1mmencepaOnco:ermfoladeontiuaeq´enua`renemaresrρ

directement :
•le foyerOet l’axe focalθ=α;

2

•la directriceDuqaiopatqu´eurnioρ=ecos(θp−α) ;
•e`etrmarapelp´teiricetcentl’exe.

= 1 +ecops(θ α ce qui permet d’identifier) ,
−

S’ils’agitd’uneparabole,onatousles´el´ementscaracte´ristiques.S’ils’agitd’uneconiquea`centre,
•ond´eteremmoofstenimsseluxcaAetA′, en calculantρ(α) etρ(α+π) ;
,
•endnotinfie´udtlenemaleΩtrenec=mil[AA′],a=21AA′b=ap,c=OΩ.

2