Méthode N°06: Fonctions usuelles
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
´
TECHNIQUES & METHODES S05
semaine du 3+11 octobre 2012
NB :ssiaerseunse´ecceerchefitteldnerpeqinhcetsminimales;elleneccnodusaptsnoeutimaf,unisbjnotiecsi!eruqrpe´
FONCTIONS USUELLES
Trigonome´trie
Re´soudreune´equationtrigonom´etrique
P´udune´equationtrigonome´triquesimple,j’utiliselese´quivalencessuivantes:
our reso re
cosx= cosa⇐⇒x≡a[2π] oux≡ −a[2π]
sinx= sina⇐⇒x≡a[2π] oux≡π−a[2π]
tanx= tana⇐⇒x≡a[π]
Pourr´esoudreune´equationtrigonome´triquedelaformeacosx+bsinx=c, avec (a b c)∈R3tel que (a b)6= (00), je
normalisecettee´quationpourmeramenera`unee´quationsimple:ilexisteθ∈Rtel que cosθ=a2a+b2et sinθ=
b
.Parconse´quent,acosx+bsinx=c⇐⇒cos(x−θ) =a2c+b2
a2+b2
Exercice 1 :peRlusoeszlteenesr´oitasocn’leduqe´eleccrelitnossru´etriquetrigonomx+sinx= 1.´eRnsep:ox≡2 [2π]oux≡0[2π]
Calculerunesommetrigonome´trique
Pourcalculerunesommedefonctionstrigonome´triquescirculairesouhyperboliques,jepasseenexponentielles(re´elle
ouimaginairepuresuivantlescas),j’appliquelaformuledubinˆomeoul’identit´ege´ome´triquepuisjereviensen
notationtrigonom´etriqueenprenantsuivantlescaspartiere´elleimaginaire,partiepaireouimpaire.
n−1
Exercice 2 :Soit (a x)∈R2tel quex6≡0[2π] etn∈N⋆. SimplifiezS(a x) =Xcos(a+kx):pe´Resnoprasc`ecualls
k=0
E(n−1+kx) sin(nx2)ei(a+n2−1x)Finalement, commeS(a x) =ReE(a x), j’obtiensS(a x) =nX−cos(1a+kx) = sin(nx2) cos((a+n2−1x)
a x) =Xei(a=(nix2)k=0 sin(x2)
k=0 s
Calculeraveclesfonctionshyperboliquesoutrigonome´triquesre´ciproques
Pourcalculeraveclesfonctionshyperboliquesre´ciproques,jepeuxutiliserlesexpressionslogarithmiques.Parcontre,
aveclesfonctionstrigonome´triques,jemerappellequeArcsin(x), Arccos (x) et Arctan (x)ssnt´tcee´ednodtsena
particuliers dexcnofnoitapselre´´cdenested¸afedresuqinunoctomiarepntsaleusc,sossninaP.o,tuescaourl´eriract
x, il faut aussi les localiser :
Pour montrer quet (= Arcsinx)
1n(siueeqifierv´jet) =x
2je localiset∈[−π2 π2]
Pour montrer quet (= Arccosx)
1soce(ri´equfieevjt) =x
2je localiset∈[0 π]
Exercice 3 : (1Calculer Arctan2) + Arctan (15) + Arctan (18)Re´opsn:eπ4
Pour montrer quet= Arctan (x)
1anetvejuqefiire´t=x
2je localiset∈]−π2 π2[
Manipuler les fonctions usuelles
Commentsimplifieruneexpressionoud´emontrerunee´galit´e
Ilexistetroisme´thodesdiffe´rentes
◮utiliser un changement de variable
◮t´egrerreupsini´drevi
◮utiliserpoe(unurthriquminoisagolxe’lserpdesfenirtervntiniaasoifnersseepxueoqprci´esrueiqlobrepyhsnoitcnos)
Exercice 4 :Simplifier Argch2+1x!R´eponse:2 Argch (x), pourx≥0.
Exercice 5 :Montrer que pour toutx∈R+Arccos11−+xx (= 2Arctanx)
1
Commentr´esoudreune´equation
Ilexistedeuxm´ethodesdiffe´rentes
◮ute´reidcnitalofnoflaucel.rueiqunonacslui,putemdanoitulosenqueltreruati’´eqmtnoe
◮eque`htS.esopputnaserparanalyse-synriaosnnxtsesutoln,iodeseresemi`esprisilutenitags’il´te´irporpseltna
fonctionsusuellesdeseramener`aunee´quationpolynomialeenx.
Exercice 6 :(nrdAecrat´Rseuox) + Arctan (x√21=7)3π.R´:seonepx= 1.
2
