Méthode N°04: Fonctions numériques, rappels

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

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TECHNIQUES & METHODES S03

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
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ETUDE DE FONCTIONS
Lepland’e´tuded’unefonctionestcommesuit:
1´dedinfienoitsne,seEnlembembled’´etude
´
2)en´sie(t´irsaesecutededaloctnniiuE
´
3dutEe´daledeasricese)ebilirivasin´t´e(
4Variations
´
5orxbsdneitimauesedutlsedEfinitionlbdedee´lee’snme
6eΓivatntese´rperebruocalTrac´edef.
Domainedede´finitionetdomained’´etude
Domaineded´efinition
Lafonctiona`´etudierestconstruitea`parope´rations,`apartirdefonctionsusuelles.
Vousendeduisezledomainedede´finitionDfdefofselrus”APO”semesnutionscontince´´nE.gnor`eth´e,leseraluo
´
d´erivablespermettentdirectementa`lacontinuit´eet`alad´erivabilite´def.

Exemple :f(x) = ln[x(x−saes])1´efinestddeclieetC∞sur ]− ∞0[∪[1+∞[.

Domained’e´tude
LorsquefestTuruenglodelealrvetninua`edute´’lpnuertsertiedner-p´eriodique,oT, par exempleDf∩[0 T[, et
compl´terparsyme´trie.
e
Ilestpossiblederestreindreledomained’´etudelorsquefe,impairestpairnee´arel.elPsu´gxileestntme’i,sa∈Dftel
que
⊲si pour toutx,f(2a−x) =f(xioetalrdolsr)a,nioatqu´ed’x=aΓeesdeirte´mysedexatf. On peut restreindre
l’´etude`aDf∩[a+∞ir.e´mte[octe´lpmeretsuenepitsyar
⊲si pour toutx,f(2a−x) = 2f(a)−f(x), alors le pointAf(aa)Γed´eymietrttcreesnesedf. On peut restreindre
l’´etude`aDf∩[a+∞.eirte´myrspateuinsrete´ee[ctmolp

Exemple :La fonctionf(x) = sin2xcos 2xest de classeC∞surRra´eontilgsabr´epporaqieu.seDlpsu,fest paire et
πudet’´tl0a[e`nO.euqidniertser-p´erio π2].
´
Etudedelacontinuit´eauxpointsparticuliers
Parfoislesth´eor`emes”OPA”surlesfonctionscontinuesnepermettentpasdeconclure.Dese´tudesparticuli`eres
sont alors necessaires. C’est le cas, notamment, lorsque la fonctionfseiefin´etdexesrdparpseisnodsffie´erntes`agauche
´
et`adroited’unpointa.
Exemple :Soitf:R→Rarepniefid´f(0) = 0, et pour toutx∈R⋆,f(x) =xlnx1((1−−ln1xxs))iis<x>x00

Encecas,vousutilisezleslimites`adroiteet`agauche:

Proposition.—sifntoiuptseaeinfie´da.

imf(x) =
−
xli→maf(x) =f(a)⇐⇒(•xl→→aa+f(x) =
•lim
x

f(a)
f(a)

´
Exercice 1 :´dttinon.d´efiniedaoncstln’neixieum´ptldeperl´eefcaEditulaez
onc e e

´
Exercice 2 :ontiunede´ofalitcnEtieudaczltionf:R→Rdriepa´efin
pour toutx∈R f(x) =⌊x⌋+x− ⌊x⌋
´
Etudedelad´erivabilite´
Commepourlacontinuite,laquestionestsouventr´egl´eeparOPAsurdesfonctionsd´erivables.N´eanmoins,une
´
e´tudeparticulie`reestparfoisn´ecessaire.

Pour´etudierlade´rivabilit´eenunpointadu domaine d1tiniefid´spou,vonzevuoe

•nfie´dala`rineverierletudnet´itioxuedseattidelamiiravoitasnf(x)−f(a)
x−a
•tniop´udetrliese´drevie´sea`agucheet`adroiteaua: lorsqu’elles existent et sont finies, il s’agit des limites :

fg′(a) = limf(x)−f(a)
=xl→ima−f(xx)−−fa(ate)fd′(a)x→a+x−a

Proposition.—S’il existed∈Rtel quef′g(a) =fd′(a) =d,alors
ftnaelbiopu´etdvariesaetf′(a) =d.

Vocabulaire :Sif′g(a)etf′d(a)re´eifftdnd,oesntnetsixenossiamttiuqlegearhpdeefpr´esenteunpoint anguleux.

´
Exercice 3 :udEtzlie´eadeedt´libivarif(x) =x3(2−x).

The´or`eme.—Soitfunefavlbe´iroidnnotcgenadeuveasioia.
•S’il existed∈R limtel que−f′(x) =d,alorsfets´drea`elbaviuaehcuagtinpoaetfg′(a) = limf′(x).
−
x→a x→a
•Silimf′±∞,alorsfne’naptse´dsvarie`blauageechaet limf(x)−f(a)=±∞.
x→a−(x) =x→a−x−a

Remarque :uopedalrire´ee´vdr`ateoi.nObaeisnuˆurn´enonc´eanalogu
Variations
Vousre´solvezl’in´equationf′(x)≥uoV.0ude´dnesrˆ,gezisueaaceho´r`Teme??, les variations def.

´
Exercice 4 :Etudiez les variations def(x) =x+ 3x(8−x).

´
Etude aux bornes
L’´etudedesbranchesinfiniesserta`pre´ciserl’alluredelacourberepr´esentatived’unefonctionauvoisinagedes
bornesdel’intervalle.Cesbornespeuventˆetrere´ellesouinfinies.Nousdistinguonsdeuxnotions:lesasymptoteset
les branches paraboliques.
Siationefini´dedeniamodudelleer´neorebunste
Ils’agitded’e´tudierlimf(x)o,u`atsnuener´eboredudeelledeniamoitinfie´dn.Oon
x→a8
suppose de plus quef’nseptsa´definieaupointa.6
4
D´efinition:i’Sixeleustomnnerbrel´eℓ∈Rtel quelimf(x) =ℓ, on dit quefest2
x→a
prolongeableparcontinuite´aupointa.
D´efinition:alrdioetnOidqteunio´ed’atqux=aestasymptote verticalea`Cfsi
limf=±∞.
x→a

Exemple :La fonction ln(x−2) +xsinxdmetaoiteladre´’dtauqnoix= 2 comme
asymptote verticale.
Si+∞noitinfie´ddeneaiomudedrnboestune
Asymptote horizontale

De´finition:noit’´eduaeqadelitrotiuqOdny=ℓestasymptote horizontaleen
lim (x) =ℓ.
+∞a`Cfsix→+∞f
Onditqueladroited’´equationy=ℓestasymptote horizontaleen−∞a`Cfsi
limf(x) =ℓ.
x→−∞

Exemple :La fonction 5−exp(−x+
comme asymptote horizontale en +∞.

3xitroadtlmead1)+ed’´equationy= 5

2

0
±2

±4
±6
±8

±10

8

7

6

5
4
3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

5

5

7

6

7

6

6

7

4
x

3

5

Asymptote oblique

5

6

2

8

Exemple :La fonction 1−x+
asymptotique (Oy) en +∞.

x2ntse´epreridoitcqiloedeun
2e une branche parab

D´efinition:On dit queCfrpneeuntse´ebranche parabolique de direction
asymptotique(Oy)en+∞si :
•lim+f(x) =±∞.
x→ ∞
•limf(x)=±∞
x→+∞x

2

y 4
3

1

5

6

0 2 4 6 8 10 12
x
Exemple :Le graphe de la fonctionx2+ 2x−´ese2prueiqolabrapehcnarbenuetn
dedirectionasymptotiqueladroited’´equationy=21xen +∞.
Recherche des branches infinies
Pourl’´etudedesbranchesinfinies,pensezavanttout`autiliserlesde´finitions,carl’´enonc´evousguidesouvent.Si
cen’estpaslecas,vousproce´dezdelamanie`resuivante:
¯
•Au voisinage d’un pointa∈Ienu(leell’dernbo´eerel:)nietvrla
si limf(x) =±∞’´editroontiuaeq,ladx=aest asymptote verticale.
x→a
•Au voisinage d’une borne infinie de l’intervalle, par exemple +∞:
quationSi limy=ℓest asymptote horizontale.
x→+∞f(x) =ℓ∈R,alrdioet’de´
• ivre l’analyse .Si lim . .
x→+∞f(x) =±∞, il faut poursu
Si limf(x=)cour0,la´esebeprenrbtnueperanahcidedtcerlobaeuqititoe(qunaiompsyOx)
x→+∞x
Si limf(xhcnarbenuetnese´dideueiqolabarepotityspmoianertcque(courbeOy)
x→+∞x)=±∞ pr, la
•Si limf(x)=a∈R⋆, il faut poursuivre l’analyse . . .
x→+∞x
f(−acnehbearobilaparepr´ourbteunesenqitotpmyaleuirededquasontiec
Sixl→i+m∞x)x=±∞, la c
droi atiox
ted’e´quny=a3

D´efinition:On dit queC´ te ebranche parabolique
fpresen un
asymptotiqueladroited’´equationy=axen+∞si :
•limf(x=)a.
x→+∞x
•limf(x)−ax=±∞
x→+∞

de

direction

Brancheparaboliquededirectionladroited’e´quationy=ax

Branche parabolique de direction(Oy)

1
0

Exemple :La fonction lnx+
asymptotique (Ox) en