Les devoirs maisons Devoir maison 1.
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ndeDevoir maison 1 Construction à la règle et au compas 2 F
Mise en place du vocabulaire.
Considérons deux points O et A tels que OA = 1.
Un nombre x est dit constructible à la règle et au compas si et seulement si on peut tracer un
segment de longueur x en partant de O et A et en ne se servant que d’une règle non graduée et
d’un compas.
Exemple. Construction à la règle et au compas de 2.
On trace la droite (OA). On plante le compas en O puis on reporte la longueur AO sur la
demi-droite [AO) pour obtenir un point B. On construit, à l’aide du compas et de la règle, la
médiatrice du segment [AB] que l’on nomme (d). On plante le compas en O et on reporte sur
(d) la distance AO pour obtenir un point C. Alors grâce au théorème de Pythagore le segment
[AC] mesure 2.
Question 1. Tracer la figure correspondant à la construction décrite précédemment.
Question 2. Construire à la règle et au compas les nombres suivants, en décrivant sous
chaque figure la construction, telle que cela a été fait dans l’exemple :
a- 3 b- 5
1 1
c- d-
2 3
3
e- cos(22,5°) f-
5
Question 3.
Dans cette question toutes vos réponses seront à justifier, justifications accompagnées d’un
dessin et d’une démonstration employant une rédaction correcte et des théorèmes de
géométrie qui devront être cités explicitement.
On considère deux nombres a et b non nuls, constructibles à la règle et au compas.
1- Le nombre a + b est-il constructible à la règle et au compas ?
1
2- Le nombre l’est-il ?
a
3- Le nombre a b ?
a
4- Le nombre ?
b
Remarque. Pour des raisons théologiques les grecs anciens se sont interrogés pendant des siècles pour savoir si
certaines constructions étaient possibles ou non à la règle et au compas. Par exemple le célèbre problème de la
quadrature du cercle (est-il possible de construire un carré possédant la même aire qu’un disque de rayon 1 ?), ou
de la duplication du cube (est-il possible en partant d’un cube donné de construire un cube de volume double ?).
Tous ces problèmes avaient souvent des raisons sérieuses d’être résolus ; par exemple pour arrêter la peste qui
sévissait sur l’île de Délos, l’oracle de Delphe la Pythie dit qu’il fallait construire parfaitement (à la règle et au
compas pour les grecs de l’époque) un autel pour Apollon de volume double que celui existant déjà… Mais ce
n’est que grâce au travaux du mathématicien Evariste Galois (mort en duel à l’âge de 20 ans) durant le XIXème
siècle que nous savons répondre en partie à ces problèmes : il est impossible d’effectuer la quadrature du cercle
ainsi que de dupliquer un cube…
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