Exercices sur les integrales generalisees

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Exercices sur les integrales generalisees 1. Calculer les inegrales generalisees suivantes : a) ∞ ∫ 0 dx (1 + ex)(1 + e?x) b) ∞ ∫ 0 e? √ x √x dx c) 1 ∫ 0 lnx dx d) ∞ ∫ 1 lnx x2 dx e) 1 ∫ 0 lnx (1 + x)2 dx f) ∞ ∫ 0 xne?x dx (n ? N) g) ∞ ∫ 0 arctan x 1 + x2 dx h) ∞ ∫ a dx x(x + r)(a > 0, r > 0) i) pi/2 ∫ 0 cos 2xdx√ sin 2x 2. Montrer que les integrales suivantes convergent : a) ∞ ∫ 0 1√x e ? √ x2+x+1 dx b) pi/2 ∫ ?pi/2 ln(1 + sinx) dx c) ∞ ∫ 0 e?t2 dt d) ∞ ∫ 0 1 + sin t 1 + √ t3 dt . 3. Determiner pour quelles valeurs du couple (?, ?) ? R2 les integrales suivantes sont conver- gentes. (On dessinera dans le plan l'ensemble des couples (?, ?) pour lesquels il y a convergence).

dx x1

xdx√ sin

primitive de e? √

e? √

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Exercicessurlesint´egralesge´n´eralis´ees

1. Calculerlesine´gralesg´en´eralis´eessuivantes: ∞ ∞ 1 a ) Z (1 + e x ) d ( x 1 + e − x ) b ) Z e − x x dx c ) Z ln x dx 0 0 0 ∞ 1 ∞ d ) Z ln x 2 xdxe ) Z (1l+n xx ) 2 dx f ) Z x n e − x dx ( n ∈ N ) 1 0 0 ∞ ∞ π 2 ) Z arcta x n 2 xdxh ) Z x ( xdx + r )( a > 0  r > 0) i ) Z cossi2n x 2 dxx g 1 + 0 a 0 2. Montrerquelesint´egralessuivantesconvergent: ∞ π 2 ∞ ∞ a ) Z 1 x e − x 2 + x +1 dx b ) Z ln(1 + sin x ) dx c ) Z e − t 2 dt d ) Z 11++sin t 3 tdt 0 − π 2 0 0

3. D´eterminerpourquellesvaleursducouple( α β ) ∈ R 2 lesint´egralessuivantessontconver-gentes. (On dessinera dans le plan l’ensemble des couples ( α β ) pour lesquels il y a convergence). ∞ ∞ ∞ a ) Z x α (1 dx + x β ) b ) Z ln(1 x + β x α ) dx c ) Z (1 + tt ) βα − t α dt  0 0 0 ∞ 4. Etudier pour quelles valeurs de n ∈ N l’inte´grale I ( n ) = Z ln x n xdx converge et calculer I ( n ) 1 dans ce cas. ∞ 5. Soit I ( λ ) = Z dx ) . Montrer que I ( λ )convergepourtoutr´eel λ et calculer (1 + x 2 )(1 + x λ 0 cette int´ al n utilisant le changement de variable t = 1 x . egr e e ∞ 6. Soit I = Z e − t − 2 t dt − e . t 0 a) Montrer que I est convergente. ∞ 2 ε b) Pour ε > 0,´etablir,enposant x = 2 t , la relation Z e − t − te − 2 t dt = Z et − t dt  ε ε c)End´eduirelavaleurde I . π 2 7. Soit J = Z ln sin x dx . 0

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