EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES
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EXERCICES COMPLEMENTAIRES EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES 1. Soit deux fonctions x et y admettant au voisinage de 1 les développements limités suivants : x(t) = 1 + (t? 1)? (t? 1)2 ? 2(t? 1)3 + ?((t? 1)3) et y(t) = ?1? 2(t? 1) + 2(t? 1)2 + (t? 1)3 ? ((t? 1)3) . Donner l'allure de la fonction f = (x, y) au voisinage de t = 1. 2. Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par x(t) = t3 + t2 et y(t) = t3 ? t2 . 3. Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par x(t) = t2 ch t et y(t) = t2 sh(t? 1) . 4. Etudier et représenter les courbes suivantes. Chercher en particulier les points doubles. a) x = 2t3 + 3t2 y = 3t4 + 4t3 b) x = t 1? t2 y = t2 1? t c) x = sin 2t y = cos 3t 5. Etudier et représenter la fonction f définie par f(t) = ( cos 2t sin t , sin 2t ) .
Voir
- branche parabolique d'angle π
- courbe
- t2 ?
- arc générateur
- raison de la symétrie
- point double
- exercices complementaires
EXERCICES COMPLEMENTAIRES EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES
1.Soit deux fonctionsxetyde 1 les développements limités suivants :admettant au voisinage x(t) = 1 + (t−1)−(t−1)2−2(t−1)3+◦((t−1)3) et y(t) =−1−2(t−1) + 2(t−1)2+ (t−1)3◦((t−1)3) Donner l’allure de la fonctionf= (x y)au voisinage det= 1.
2.Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par x(t) =t3+t2ety(t) =t3−t2
3.Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par x(t) =t2chtety(t) =t2sh(t−1)
4.Etudier et représenter les courbes suivantes. Chercher en particulier les points doubles.
a)x= 2t3+ 3t2y= 3t4+ 4t3 b) tx t2y1=t−2t = 1− c)x 2= sint y 3= cost 5.Etudier et représenter la fonctionfdéfinie par f(t) =cso2isnttsin 2t On montrera en particulier que, lorsquexest dérivable, on a cost(1 + 2 sin2t) x′(t) =−sin2t
6.a) Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par (t1t)e)y(t) = tant xsoc(=t3 b) Le tracé de l’arc générateur montre qu’il coupe l’asymptote oblique d’équationy=−x3. On cherche dans ce qui suit à déterminer ce point d’intersection.
1
b1) On poseu= tan(h3)où0< h <3π2eth6=π2. Calculertanhetsin(h3)en fonction deu.
b2) Montrer que la détermination du nombrehcompris entre0et3π2, vérifiant 3π y2−h=−13x23π−h
revient à résoudre l’équation : u4−86u2+ 57 = 0 avec la condition :1√3< u <3. b3) On poseP(X) =X2−86X+ 57. Etudier le signe deP(3)et deP(13). En déduire que la valeur deucherchée vaut43−16√7.
7.Etudier et représenter la courbe paramétrée définie par x(t) = cost+ sin2tety(t) = cos 3t−sint Déterminer en particulier, les points d’intersection avec les axes et le point double.
8.Etudier et représenter les courbes paramétrées définies par a)x(t) = sin 2tety(t) = sin2t(11−10 sin2t) b)x(t) = sin32tety(t) = sin2t(11−10 sin2t)
2
Corrigé des exercices
1.SiM(t)a pour coordonnées(x(t) y(t))les coordonnées deM(1)sont(1−1)et si l’on pose −→−→−→−→−→−→−→−→−→ U1=i−2j U2=−i+ 2j U3=−2i+j on a la relation vectorielle −−−−−−−→− M(1)M(t) = (t−1)U−→1+ (t−1)2U−→2+ (t−1)3U→3+◦((t−1)3) −→−→−−−−−−−→ CommeU−→2=−U−→1, les vecteursU1etU2sont colinéaires, et le comportement deM(1)M(t)est celui de(t−1)U−→1+ (t−1)3U−→3. On va donc obtenir un point d’inflexion. ✻ t <1 −→ ✲ −→O−→ı U3 M(1)
t >1
−→ U1
2.Réduction du domaine d’étude Les fonctionsxetysont définies surR. L’application :Φ1:t7→ −test une bijection de I1 0= [+∞[surI′1= ]−∞0 ], et l’on a x(−t) =−y(t) et donc également y(−t) =−x(t) La courbe est symétrique par rapport à la deuxième bissectrice. On l’étudie surI1, et on com-plètera par la symétrieS1par rapport à la deuxième bissectrice. 3
