Exercices sur la convergence uniforme

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Exercices sur la convergence uniforme 1. Calculer la norme infinie des fonctions f de R dans R definies ci-dessous et preciser lesquelles sont bornees. a) f(x) = arctan x b) f(x) = x1 + x2 c) f(x) = sin(x 2) d) f(x) = x 2 + sin x x2 + 1 e) f(x) = x3 x2 + 1 f) f(x) = 1? 2x2 12 + x4 2. Etudier la convergence simple et uniforme sur R des suites (fn) de fonctions definies ci-dessous a) fn(x) = x 1 + nx2 b) fn(x) = sin(nx) 1 + n2x2 c) fn(x) = x arctan(nx) 3. Etudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fonctions (fn)n≥0 definies par fn(x) = { 0 si x 6= n n3 si x = n 4. Soit a un nombre reel. Etudier la convergence simple et uniforme sur R+ de la suite (fn)n≥1 de fonctions definies par fn(x) = naxe?nx . 5. Etudier la convergence simple et uniforme sur [ 0, 1 ] , puis sur [ 0, a ] avec a dans ] 0, 1 [ de la suite (fn)n≥1 de fonctions definies par fn(x) = n(xn ? xn+1) .

n2x2

inegalite triangulaire

convergence uniforme

comportement relatif des puissances et des exponentielles

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Inégalité triangulaire Convergence uniforme

Exercices sur

la convergence uniforme

1.Calculer la norme inﬁnie des fonctionsfdeRdansRci´epretd´rseseicﬁeinossudse lesquellessontborne´es. x 2 a)f(x) = arctanxb)f(x) = c)f(x) = sin(x) 2 1 +x 2 3 2 x+ sinx x1−2x d)f(x) = e)f(xf)) = f(x) = 2 2 4 x+ 1x12 ++ 1 x 2.Etudier la convergence simple et uniforme surRdes suites (fnfed)tcnosnoiﬁe´dnies cidessous xsin(nx) a)fn(x) = b)fn(x) = c)fn(x) =xarctan(nx) 2 2 2 1 +nx1 +n x 3.Etudier la convergence simple et uniforme surRde la suite de fonctions (fn)n≥0 de´ﬁniespar  0 six6=n fn(x) =3 nsix=n + 4.SoitarmesuEtl.eer´rembnouniforetunmplecesigrnenoevlrcadueiRde la suite (fn)n≥1nieﬁd´nsrpaesdtcoifeno

a−nx fn(x) =.n xe

5.Etudier la convergence simple et uniforme sur [ 0,[ 01 ] , puis sur , a] avecadans ] 0,1 [ de la suite (fn)n≥1rapseinﬁe´onsdnctidefo

n n+1 fn(x) =n(x−x).

6.[ 0Etudier la convergence uniforme sur ,+∞[[ , puis sur a,+∞[ aveca >0 de la suite (fn)n≥1inﬁe´dsnrapsedioctonef

2 2 π+n x fn(x) = sin. 2 1 +n x 7.[ 0Etudier la convergence uniforme sur ,puis sur 2 ] , [ 0, a] suite (fn)n≥1arspienﬁe´dsnoitcnofed

aveca∈] 0,1 [ de la

n+1 2πx fn(x) = sin. n 1 +x n x x+n 8.Soit la suite (fn)n≥0deurss[0e´dseinﬁcnofnoit,+∞[ parfn(x) = . 2n2x x+n a) Trouver la limite simple de la suite (fn[ 0) sur ,+∞[ . Aton convergence uniforme sur cet intervalle ?

b) Montrer que pour tout couple (X, Yptsotifiosanesbromen)dnemetcirtsslee´r

X+Y2 ≤ 2 2 X+Y X+Y

Voir