EXERCICES SUR L'INTEGRATION
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EXERCICES COMPLEMENTAIRES EXERCICES SUR L'INTEGRATION 1. A l'aide des sommes de Riemann d'une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous. an = n ∑ k=0 1 n? + k? (? et ? > 0) , bn = n ∑ k=1 √ k n √ n cn = 1 n2 n ∑ k=1 k sin kpi 2n , dn = 1 n2 n ∑ k=1 k exp ( ?k n ) 2. Trouver la limite de la suite (un)n≥1 définie par un = n ∑ k=1 n k2 + 2kn + n2 . 3. Trouver la limite de la suite (un)n≥1 définie par un = 1√ n n ∑ k=1 1√ k + n . 4. Trouver la limite de la suite (un)n≥1 définie par un = n ∑ k=1 k k2 + n2 . 5. Etablir les propriétés suivantes à l'aide de changements de variable simples. a) Si f une fonction continue de [ a, b ] dans R, b ∫ a f(x) dx = b ∫ a f(a + b? x) dx .
Voir
- majorant irrationnel
- pi ∫
- exercices sur l'integration
- arctan xn
- courbe représentative
- formule de la moyenne
- tn ln
- ln ?
EXERCICES COMPLEMENTAIRES EXERCICES SUR L’INTEGRATION
1. A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous. n 1 n n = k = X 0 nα + β ( α et β > 0) b n = k = X 1 nkn ak 1 n k sin kπd 1 2 k = X n 1 k exp − nk c n = n 2 X 2 n n = n k =1 2. Trouver la limite de la suite ( u n ) n ≥ 1 définie par n u n = X k 2 + 2 knn + n 2 k =1
3. Trouver la limite de la suite ( u n ) n ≥ 1 définie par n u n = √ 1 n X 1 k 1+ n k = 4. Trouver la limite de la suite ( u n ) n ≥ 1 définie par n k u n = k = X k 2 + n 2 1
5. Etablir les propriétés suivantes à l’aide de changements de variable simples. a) Si f une fonction continue de [ a b ] dans R , b b Z f ( x ) dx = Z f ( a + b − x ) dx a a b) Si f une fonction continue de [ − 1 1 ] dans R , π 2 π 2 Z f (cos x ) dx = Z f (sin x ) dx 0 0 c) Si f une fonction continue de [ − 1 1 ] dans R , π π π 2 Z xf (sin x ) dx = π 2 Z f (sin x ) dx = π Z f (sin x ) dx 0 0 0
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π Application : calculer Z 1 x +scions x 2 dx . x 0 d) Si f une fonction continue de R dans R , et si f est impaire alors la fonction F définie par x F ( x ) = Z f ( t ) dt est paire. Si de plus f est T − périodique, alors F est aussi T − périodique. a π 2 − α 6. a) Soit 0 < α < π 2 . Calculer Z sin t cos t ln(tan t ) dt . On posera x = π 2 − t . α 1 a b) Soit 0 < a < 1 . Calculer Z ln ttdt . On posera x = 1 t . a 7. Soit u une fonction continue de R dans R . On pose, pour x réel, x 2 v ( x ) = Z u ( t ) dt x +1 a) Montrer que v s’annule en au moins deux points de R . b) Donner un exemple d’une fonction u telle que v s’annule en exactement deux points de R . c) Calculer v ′ ( x ) pour tout x de R . 8. Soit f une fonction continue sur R . Calculer la dérivée de la fonction F définie par x 2 F ( x ) = Z ( f ( t ) − x ) 2 dt 2 x
9. Calculer la dérivée de la fonction F définie sur R par x 2 +1 F ( x ) = Z e t 2 dt 2 x − 1
10. Soit F la fonction définie sur R par 2 x F ( x ) Z t 4 dt = + t 2 + 4 x a) Montrer que F est une fonction impaire. b) Montrer que la fonction F est dérivable puis calculer F ′ ( x ) pour x réel et déterminer les zéros ′ de F .
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