Exercices sur l'integrale de Riemann

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Exercices sur l'integrale de Riemann 1. a) Montrer que si k > 0 on a k+1 ∫ k dx√x ≤ 1√ k , et si k > 1 on a 1√ k ≤ k ∫ k?1 dx√x . b) En deduire que la suite (un)n≥1 definie par un = n ∑ k=1 1√ k ? 2 √ n , est convergente, et que sa limite ? verifie : ?2 ≤ ? ≤ ?1. 2. Soit f une fonction continue de R dans R. Calculer F ?(x) dans les cas suivants : a) F (x) = x2+1 ∫ 2x?1 f(t) dt , b) F (x) = x ∫ 0 (x2 ? f(t))2 dt. 3. A l'aide des sommes de Riemann d'une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme general est donne ci-dessous. an = 1 n n ∑ k=1 sin kπ n , bn = n ∑ k=0 1 n? + k (? > 0) , cn = n ∏ k=1 ( 1 + k n )1/n 4. Soit ? > 0.

arctan t2 dt√

exercices sur l'integrale de riemann

dx ?

dt√ t4

dx√x ≤

majorant irra- tionnel

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Exercicessurl’inte´graledeRiemann

k +1 k 1. a) Montrer que si k > 0 on a Z dxx ≤ 1 k et si k > 1 on a 1 k ≤ Z dxx k k − 1 n 1 b)Ende´duirequelasuite( u n ) n ≥ 1 de´ﬁniea X p r u n = k =1 k − 2 n  est convergente, et que sa limite ℓ v´eriﬁe: − 2 ≤ ℓ ≤ − 1. 2. Soit f une fonction continue de R dans R . Calculer F ′ ( x ) dans les cas suivants : x 2 +1 x a) F ( x ) = Z f ( t ) dt  b) F ( x ) = Z ( x 2 − f ( t )) 2 dt . 2 x − 1 0 3. A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites dontletermeg´ene´ralestdonn´eci-dessous. n k =1 k =0 nα 1+ k ( α > 0)  c n = k = Y n 1  1 + kn  1 a n = n 1 X n sin knπb n = X n n 4. Soit α > 0.Trouverune´quivalentsimplede u n = X k α . k =1 5. Soit f une fonction continue de [ a b ] dans R ∗ + . Montrer que l’on a Z ab f ( x ) dx Z ab f (1 x ) dx  ≥ ( b − a ) 2  etquel’´egalite´alieusietseulementsi f est constante. 6. Soit f une fonction continue et positive sur [ 0  1].De´montrerl’in´egalit´e:  0 Z 1 f ( x ) dx  2 ≤ Z 01 f ( x ) dx 

Quanda-t-onegalite´? ´ 7. Calculerlesinte´grales I suivantes en utilisant un changement de variable convenable

π a ) Z 1 e x dxb ) Z  4 coss x i(n1 x ++tacons 2 xx ) dxc ) Z π sin 5 x cos 2 x  dx  d ) Z π 1co+s 2 s 1 in x 13 dxx e x + 1  − 0 0 0 0 π 2 8. Soit I n = Z sin n x dx (Inte´gralesdeWallis).Pour n ≥ 2´etablir,enint´egrantparparties, 0 unerelationder´ecurrenceentre I n et I n − 2 .End´eduirelavaleurde I n .

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