Exercices de probabilités - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voies ECS et ECE, Variables aléatoires discrètes : indications et réponses

Réponses de Probabilités - 1 -

Réponses et Indications (Variables aléatoires discrètes)

Exercice 1 (d’après ESSEC 1999 voie T)
Partie A : Etude du temps d’attente pour obtenir un double six
1
1) p = par indépendance.
36
 1 
2) XcG (temps d’attente du premier succès).  
36 
3) E(X ) = 36 et V (X ) = 1260 .
4) Initialiser X à 0, puis dans une boucle, répéter X := X +1 et deux tirages aléatoires
entre 1 et 6 jusqu’à ce qu’ils soient tous les deux égaux à 6. Afficher la valeur de X.
Partie B : Etude du temps d’attente pour qu’au moins un dé ait amené un six
25
1) q = par indépendance.
36
11 
2) YcG car la probabilité de succès est 1− p .   2
36 
36 900
3) E(Y ) = et V (Y ) = .
11 121
4) Initialiser Y à 0, puis dans une boucle, répéter Y := Y +1 et deux tirages aléatoires
entre 1 et 6 jusqu’à ce que l’un des deux soit égal à 6. Afficher la valeur de Y.
Partie C : Etude du temps d’attente pour que chacun des dés ait amené un six
n
5 
1) p = par indépendance.  n
6 
n n
5 25   
2) P(Z ≤ n) = 1− 2 + .    
6 36   
n n
2 5 11 25   
3) P(Z = n) = − . Exprimer P(Z ≤ n) en fonction de P(Z ≤ n −1) .    
5 6 25 36   
4) Utiliser les sommes des séries géométriques.
96
5) E(Z) = . Utiliser les sommes des dérivées de séries géométriques.
11
12720 4560
6) et . E[Z(Z −1)] = V (Z) =
121 121
Utiliser les sommes des dérivées de séries géométriques.
7) Initialiser Z à 0, puis dans une boucle, répéter et deux tirages aléatoires Z := Z +1
entre 1 et 6 jusqu’à ce que l’un des deux soit égal à 6. S’ils ne sont pas tous les
deux égaux à 6, dans une boucle, répéter et un tirage aléatoire entre 1 et Z := Z +1
6 jusqu’à ce qu’il soit égal à 6. Afficher la valeur de Z.
Exercice 2 (d’après EM Lyon 2000 voie E)
A – Premier protocole
2n − k
1) P(E ) = . Utiliser la formule des probabilités composées. k
n(2n −1)
2n − k
2) X (Ω) =Pa − 2n +1, a −1T et P(X = a − k) = car X = a − k si E est réalisé. k
n(2n −1)
2n +1
E(X ) = a − .
3
Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 2 -

B – Deuxième protocole
1) Y(Ω) =Pa − n,a −1T∩{− n}.
2n − k n −1
2) et 3) P(X = a − k) = si k ∈P1, nT et P(Y = −n) = .
n(2n −1) 2(2n −1)
23a(3n −1) − 7n +1
5) E(Y ) = .
6(2n −1)
C – Comparaison des deux protocoles
n +1
Le protocole le plus favorable est le premier si a > .
3
n +1
Le protocole le plus favorable est le second si . a <
3
Exercice 3 (d’après Ecricome 2004 voie E)
1) a) . Utiliser les probabilités totales. P(E) = 0,085
b) P (A) ≈ 0,82. Utiliser la formule de Bayes. E
c) NcB (100;0,085) donc E(N ) = 8,5 et V (N ) = 7,7775 .
k(8,5) −8,5d) λ = 8,5 et P(N = k) ≈ e .
k!
e) P(E ) ≈ 0,28338 et P(E ) ≈ 0,89214 . 1 2
10 30
2) a) TcG (0,7) donc E(T ) = et V (X ) = . 1 1
7 49
b) Utiliser les probabilités totales avec le système complet d’événements (T = j) . 1 j≥1
c) Utiliser la somme d’une dérivée de série géométrique.
20
d) E(T ) = . Utiliser la somme d’une dérivée de série géométrique. 2
7
k k3) a) P(L = k) = 0,3(0,7) + 0,7(0,3) 1
En effet (L = k) = (A ∩...A ∩ B ) ∪ (B ∩...B ∩ A ) . 1 1 k k +1 1 k k+1
b) Utiliser les somme de séries géométriques.
58
c) E(L ) = . Utiliser les sommes de dérivées de séries géométriques. 1
21
k+1 j k+1 j
d) P[(L = k) ∩ (L = j)] = (0,7) (0,3) + (0,3) (0,7) . 1 2
En effet, l’événement (L = k) ∩ (L = j) est réalisé si l’on a soit d’abord k 1 2
fois A, puis j fois B, puis A, soit d’abord k fois B, puis j fois A, puis B.
2 j−1 2 j−1e) P(L = j) = (0,7) (0,3) + (0,3) (0,7) . 2
Utiliser l’expression d’une loi marginale en fonction de la loi conjointe.
f) E(L ) = 2 . Utiliser les sommes de dérivées de séries géométriques. 2
Exercice 4 (d’après ISC 1996 voie S)
Méthode 1
10 N N(N +10) 
1) XcG donc E(X ) = 1+ et V (X ) = .  
N +10 10 100 
N N(N +10)
2) a) E = 1+ et V = (par indépendance). n n
10 100n
Vnb) P( Z − E ≥ ε) ≤ . Donc lim P( Z − E ≥ ε) = 0 . n n n n2 n→+∞ε
3) N = 50 .

Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 3 -

Méthode 2
10 N −10  
    k 10 − k10    
1) Y cH N,10, donc Y (Ω) =P0,10T et P(Y = k) = .  N N
N N     10 
2[(N −10)!]
2) a ≠ 0 ⇔ N ≥ 18 et a = 4050× N N (N −18)!N!
3) Suite croissante jusqu’à 50 puis décroissante.
4) Le maximum est obtenu pour N = 50 .
Exercice 5 (d’après EM Lyon 1995 voie E)
1 2
1) P(A) = et P(B) = , donc P(B) > P(A) .
3 3
Utiliser les probabilités totales en introduisant G « il tire le numéro gagnant"
p n − p  
    k p − kp    2) a) XcH n, p, donc X (Ω) =P0, pT et P(X = k) = .  
nn   
  p 

p
Puis utiliser P(X = k) = 1 pour montrer l’égalité. ∑
k=0
2
p
b) E(X ) = en utilisant l’égalité du a). Puis utiliser la définition de . E(X )
n
 p − kn − 3p + k
    j p − j  
c) P (Z = j) = si j ∈P0, p − kT et P (Z = j) = 0 sinon. ( X =k ) ( X =k )
n − 2 p 
  p 
Même raisonnement qu’au 2) a) avec (n − 2 p) numéros, dont ( p − k) gagnants
p−k
et (n − 3p + k) perdants. L’égalité est conséquence de P (Z = j) = 1. ∑ ( X =k )
j=0
d) Utiliser l’expression de la loi marginale de Z à partir de la loi conditionnelle.
e) E(Z) > E(X ) , donc, en moyenne, la stratégie B est meilleure.
Exercice 6 (d’après HEC 2003 voie E)
Partie A
2 2 21) A − 2aA = (b − a )I .
− a b1  −12) A =   .
2 2  b − a b − a 
3) Si a = b , la matrice A n’est pas inversible.
4) Montrer que les matrices A − (a + b)I et A − (a − b)I ne sont pas inversibles.
Partie B
1) Utiliser les probabilités totales avec le système complet d’événements (X = k) k≥1
2
et l’indépendance de X et Y. P(E) = car E est l’événement contraire.
2 − p
2) S = X + Y et D = X − Y . Donc cov(S, D) = 0 .
3) S et D ne sont pas indépendantes car P[(S = 2) ∩ (D = 0)] ≠ P(S = 2)P(D = 0) .
Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 4 -

4) Utiliser les probabilités totales avec le système complet d’événements (X = k) k≥1
et l’indépendance de X et Y.
5) Etudier le sens de variations de la suite de terme général u = P(S = n) et en n
déduire la valeur de n où elle atteint son maximum.
Exercice 7 (d’après CCIP 2004)
1) Evident car . X (Ω) ⊂ *
2) Décomposer l’événement (X ≥ k) en deux événements incompatibles.
3) Faire apparaître une somme télescopique.
4) Minorer k dans la somme.
5) lim nP(X ≥ n +1) = 0 car