Exercices de mécanique des fluides – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*, Bilans macroscopiques

PC*Lyc´eeHoche

Me´caniquedesfluides

Bilans macroscopiques

Pascale Piquemal 08/12

Sujet 1 : Pompe
D´eterminerlapuissancePohcsiesemtnelrfnaenivell´ntd’und´opHenurud’epmopenuattemrep
fluideincompressibleparfait.Lesconditionsdufluidea`l’aspirationsontP1etS1et sontP2etS2au
refoulement. Le fluide a une masse volumiqueµ. On noteDme.mppobetiamssqieuedalled´

Aide: montrDm(v2v221) +Dmg(z2−z1) +P2S2v2−P1S1v1.
er quePo=22−

Sujet2:Emboutdelance`aincendie
Unemboutdelancea`incendieestreli´eautuyauprincipalpar
unsyste`mea`pasdevis.Lessectionsd’entr´eeetdesortiede
l’emboutsontSets,lapressionexte´rieurePo-o.Led´ebitv
lumique sortant est constant et vaut D. Le fluide est parfait,
incompressible et de masse volumiqueµ.
Exprimer la forceF e−→xrcxeeapdsvesie´peraeloutensurl’emb
fonction deµ, D, S et s.

Re´sultat:F=−2µD2S(s1−1S)2.

Figure incendie `a1 – La
nce

Sujet 3 : Chariot de minerai
Un chariot, de vitesse−→initiale nulle et de masse initialem0ecuvementparuneforse,simtomnedelblsna
horizontale constanteFet le sol). On verse du sa(absence de frottements entre le chariot e
chariot(d´ebitmassiqueD)etcesablearriveavecunevitessehorizontaleetconstante−V→par rapport
aur´efe´rentieldusol.
1/De´terminerlavitessev(t)aritlee´ca´cte’lppnateioarchduon`roe´hteltnauqilmedelerae´ustlnate
cin´etiqueau”bon”syst`eme.
2/Calculerlade´riv´eedel’´energiecin´etiqueduchariotetdesoncontenuparrapportautempsensuite
effectuerunbilane´nerg´etique`al’aideduth´eore`medel’e´nergiecine´tiqueapplique´au”bon”syst`eme..
Re´sultats:d(tdm−→v)=F−→+D V−→du`o’v(t) =(mF+oD+vD)tt).Pint=−D2(v−V)2.

Sujet 4 : Ventilateur ou soufflerie
Unesoufflerieestsch´ematis´eeselonlafigureci-dessous.L’airsera
suppose´parfaitetincompressible(µ=13kgm−3). La pesanteur
seran´eglige´e.Lediame`tredesortiedelasoufflerieapourvaleurd0=
015messa’ril,s`edyposviteeunev0= 20ms−1,nuA.eludeaivceli´e’h
lediam`etreestd= 028mNe pas utiliser les formules du cours car.
l’airaspire´estaureposetonneconnaitpaslasectiondelaveine
fluideenamontdel’h´elice,s’adaptera`l’exercice.
1/D´eterminerenfonctiondeµetv0ldastxineiotancnere´ffisserpede
departetd’autredel’he´lice.A.N.
2/ Calculer la puissance utile fournie par la ufflerie par un th´ `
so eoreme
´energ´etique,A.N.Exprimerlapuissanceutileenfonctiondumodule
delaforceexerc´eeparl’h´elicesurlefluide.Ende´duirecemodule,A.N.

Figure2 – Soufflerie

3
Re´sultat:P2−P1=2µv02= 260P a,Putile=µv80πd02= 92WetF= 16N.

Sujet5:L´evitationd’uneplaquea`l’aided’unjetd’eau
Soit une plaque circulaire de section S et d’axe Oz (axe vertical ascendant), de masse m. Elle est
maintenueen´equilibregraˆce`al’actiond’unjetd’eauverticaldevitessev−→e=veu−→zdteieb´edt
1

PC* Ly ´ Hoch
cee e

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Pascale Piquemal 08/12

volumiqueD(ondonneDetlasectionsdujetloindelaplaque).Lejetsortantalasym´etriede
r´evolutionautourdel’axeOz,c’estunjetlibreetsone´paisseurestdonn´eee.
Calculerl’actiondel’eausurlaplaque.End´eduirelaconditiond’´equilibredelaplaque.

Conseilse´Ratlutset.lunuvmoenemitntde´enadtqeaubetiostrrqueled´remarquetuafli::tF−→=
(PoS+µDs2)u−→z=µsD2.
etmg

Figureplne’undueaq´L–3oitative

Sujet 6 : Tuyau avec arri ´ d’eau
vee
Un tuyau Tu peut tourner librement autour de son axe horizontal
Δ T soud´(Ox). Il alimente en eau un tuyau Tu’ en forme d
e e au
premiertuyau.L’extre´mit´edel’unedesbranchesdeTu’estbouch´,
ee
l’eaus’´ecoulantparl’autrebranche.
De´terminerlavaleurdel’angleαiuilrbeeuq(tiafavOBOzecal)`eq’´
del’ensemble,enfonctiondesdonn´ees.mestlamassedeTu’(200g),
s est sa section (uniforme).µla masse volumique de l’eau et son
d´ebitmassiqueestDmcteb,a.ppsuntsoonsc´eosnus.OG=c,
AB=BA0=betOB=a.

Appliquerlethe´o`domentcine´tique.tultaR´es:(m+µs(a+
reme u m
2b))cgsinα=D2maµs.

2

Figure4 – Tuyau

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Sujet 7 : Chariot avec aube
Soitunchariotsurmont´ed’uneaubeenformededemicylindre.Unjetfluide(incompressible)est
de´vie´parlecylindre(onne´gligelesfrottementsetleseffetsdelapesanteursurlejet).Lefluidearrive
sur l’aube avec une vitesseV u−→xalseouept´eeub’aalpraarorppangentiellement`atsuloi,alrrvite
forme de l’aube pour repartir tangentiellement.
Le chariot a une vitesseu u−→xconstante (u < Vetnus´eDcteepitt´nrosoenn´ettincidener)m.iLneejre
ee s.
lapuissancePrec¸ueparlechariotainsiquesonrendement(enr´egimepermanentmaisattentionau
re´f´erentiel`achoisir).Oncalculerad’abordlaforcetotaleexerc´eesurl’aube.

R´ ultat:−F→= 2Dm(V−u)u−→xetη= 4Vu(1−Vu)2.
es

Figure5 – Chariot avec aube

Sujet 8 : Auget
Unjetarrive,a`lavitesse−→v, suivant l’axe horizontalOx
d’unaugeta`syme´triedere´volutionderayonmoyenR.
L’´ecoulementestsuppose´permanentetincompressible,
ssorta`le-
´
roineanvoetceluanemvaistseessveol−→u0imuqeu.OnsµL.e’rueaaelrphprpio´eap
vseR >> `D.mrnie´et
−
forcere´sultanteF→subie par l’auget de la part des fluides.
Lesjetssontlibresal’entr´eeet`alasortie.
`

Sujet 9 : Jet d’eau sur un disque en translation

Un jet d’eau (vitesse−v→1=v1−→uxes)´eoynvtenurus
disque(danssazonecentrale)quipeutbougera`lavi-Figure6 – Auget
tesse−u→=u−→ux. SoientS1etS2les sections du jet libre a
`
l’entre´eeta`lasortie,Rlerayondudisqueetusupposee
´
constante.Onseplacedansunr´efe´rentielquised´eplace`alavitesse−→ufe´ruatreitnere´poaprrpaldu
laboratoiregalile´en.Pourquoi?
1/ On suppose que la vitesse de l’eau en sortie (−→v2`sdeueenocpmsonaet)pos
radialedanslere´f´erentieldulaboratoire.Exprimercettecomposanteet
−
calculerv→2.
2/ Calculer la for−F→qu’
ce exerce l’eau sur le disque.
dare´fe´re
3d’/eaCua.lcCualelcr,ulernlsalpeuissancnetiedledlaufloarbcoeraF→mene.t.Dfin´eunirndretjeduueiqetn´ecicssnapaiuerl,toi
−

R´esultat:S2v2r=S1(v1−u)etF−→= (PoπR2+Dm(v1−u

3

))−→.
ux

Figure7 – Jet d’eau
sur un disque en trans-
lation

PC* Lyc´ Hoche
ee

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Sujet 10 : Jet d’eau sur une plaque mobile autour d’un axe

Pascale Piquemal 08/12

Figure8 – Jet d’eau sur plaque mobile autour d’un axe

Une plaqueOApouvant tourner autour d’un axeΔsseteunittdjeau’evidehrozinoatrl¸eocvoet de
de´bitmassiquedonn´eDmen son milieu. On suppose que l’eau est incompressible. La plaque est de
longueurOA=Lasepaledsnoitcastjeleurrseuntgeilegeles.MnO´n’eauetlepoidsdeltdeasem
enge´ne´ral.
At= 0,altlej¸coiuereplaqd’etu.ealcCaerulna’lelgαelibredelaplaque.oHsre´uqlibier,´’diuqe
calculerlap´eriodedespetitesoscillationsdelaplaque(momentd’inertieJparrapporta`l’axeΔ).

M
Re´sultat:e´ituq.eintcenomumedemr`oe´htelreuqilppAtanαe=DMmvgoetω2=2gLJ.

Sujet11:Me´langedefluideavecdesvitessesdiff´erentes

One´tudiel’e´coulementpermanentd’unfluideincompressible`atraversuncylindredesectionS.Ce
cylindreestmunid’uneplaquese´parantlasectionducylindreendeuxparties´egalesS2deel`aAu-d.
la sectionSoal,pe´sxi’eepstatarnniotn´reeudul.slAe’,lapresscylindrestneioPoet les vitesse du
fluide sontv1etv2=v12et loin de la plaque (dans la section S), la vitesse du fluide estv3. Calculer
v3et la pressionP3croerpsdaone.ntisEx-tteuli-´denrepeitidond’´energie?Comemtnre.

Re´sultat:v3= 3v14,P3=Po+µv1216et−13µ2S8v13.