Exercices de mécanique des fluides – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*, Cinématique des fluides
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Publié le
01 janvier 2012
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518
Licence :
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Français
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PC*Lyc´eeHoche
Me´caniquedesfluides
Cine´matiquedesfluides
Pascale Piquemal 08/12
Sujet1:Approcheseule´rienneetlagrangienne
Ecoulement non permanentvx=betvy=acosωt. On prendraω= 2π rads,b= 1mset
a= 2π ms.
Etude lagrangiennea´Dtrajrlesmineeteruoce´sedseriotcedrenprOns.ntmeleXo= 0etYo=
−101mseL.cartusregnurlra’cce´´lretaoiraphique.Calcule.sedirtpaesndfluesulic
Etudeeule´rienneansttsrlouinesruocptnangiledseqeauel´sdsseitnoD´einertermt= 0,t= 05s
ett= 1ssurlegraestracerL.actrdureuiedD´t.nede´ce´rpeuqihpdeleurlavarantceuoendslsgie´ed
l’acce´l´erationconvective.Enutilisantlaformuleducours,calculerl’acc´el´erationdesparticulesfluides.
Comparer.Caracte´riserl’e´coulement.
Sujet 2 : Houle irrotationnelle et incompressible
Un´ecoulementmarinestcaract´eris´eparune´coulementcylindrique,incompressible,irrotationnelde
potentielΦ =f(z)sin(ωt−2xλπ)nuxaeztsitacvereoaxeO`ul’scladaen.nt
1/D´eterminerlaformeg´en´eraledelafonctionf(z).
2/Lefonddelamere´tantimp´ene´trable,rigideetplanetlavitesse´etanthorizontaleaufonddela
merz=−hsses.dpseiveterelhcmad´enuied,
3/Danslemod´eledehouleeneauprofonde,onconside´rehcommeinfini.Recalculerdanscesnouvelles
conditions le potentiel des vitesses et le champ de vitesses.
4/De´terminer,danslesconditionsdelaquestionpre´c´edente,latrajectoiredelaparticulequisetrouve
aureposavantlepassagedelahouleaupointdecoordonn´ees(x0 y0 z0)ad,’lsnittsed’unpehypoth`e
mouvement particulaire.
−
R´eponses:1/f(z) =A2πzλ+Bexp2πzλ3/A= 04/vx=−2λπBexp2λoπzcos(ωt−2πλxo)etvz=
exp
2πλBexp2λzoπsin(ωt−2πxλo), trajectoire circulaire.
Sujet 3 : Ecoulement de Hubble
Unfluideestsuppose´remplirtoutl’espsuos´edecearticuleestidentifie´e
par sa positionM0date`alat= 0eraliaadeisstinieleueenivetptso`sdeppace,qC.ahxfiOetnerv−u→0e p=H O−−M→0. H est une
constanter´eellepositive(constantedeHubble).Chaqueparticuleconserveaucoursdutempssavitesse
vectorielle initiale.
1/D´eterminerlechampeul´eriendesvitessesetlechampdesacc´ele´rations(dedeuxfac¸ons).
2/Onsupposelefluidehomoge´ne`atoutinstant.De´terminerµ(t)en fonction deµ0uvco´eedrriR.
l’e´quationlocaledeconservationdelamasse.Ondonneladivergenceencoordonneessphe´riques:
´
div(aru−→r) =∂r∂ar+2arr.
R´eponses:1/r=ro+vt,v=H ro=H(r−vt)’od`uv(r t) =1+rHtH2./luel´erac´elestntion,ca’l
(t) =rr33o=µo1(1+Ht)3
µ µo
Sujet4:Erosion,se´dimentationetme´andres
Onconsid´ereune´coulementstationnaire,nonvisqueux,incompressible,bidimensionnel,irrotationnel,
`apotentielΦde la formeΦ = Φ(r θ)e´,luocnemenadtsundi´edrecompriestnerelpsalsnθ= 0et
θ α.
=
1/Oncherchea`re´soudreceprobl´eme(ΔΦ = 0sedniravrapeoitaleabens,)pa´mteurened´sohed
cherchant sous la formef(r)g(θ)ce´nnoisserpxe’leedirsaesterminer.D´eg(θ)ˆnmoseomehlrehcrtcees
en r solutions pourf(r).
2/Φn’est pas unique, on choisitΦ(r θ) =Ccosθαπrαπte´D.renimrevretvθ. Commenter l’allure des
lignesdecourantdonne´esauverso.
3/ Distinguer les casα < πetα > πonsiro´el’`aontiacilpxe’dstneme´s´elerdeDonn.demine-tea`al´s
tation.Pourquoi,vusdehaut,lesme´andresdesfleuvessont-ilsdoux?
1
PC*Lyce´eHoche
Me´caniquedesfluides
Pascale Piquemal 08/12
On donne le laplacien pour un champ scalairef(r θ z)´neecslyneocdrnoeuqirdni:sΔf(r θ z)
1∂2f
1∂r(∂rrrf∂∂+)r2∂θ2+∂∂2fz2.
Sujet 5 : Ecoulement fluide potentiel
=
Deux murs (x= 0,y >0) et (y= 0,x >0parfait, homogene et incompressible de masse), fluide
`
volumiqueµdans la zone (x >0,y >0) et la source est radiale et stationnaire, rectiligne, isotrope
selonlaparalle`lea`l’arˆetedudi`edreforme´parlesdeuxmurs,sourceSenx=aety=bed`ercnO.isno
quel’onaun´ecoulementpotentieletonnoteD,lede´bitvolumiqueparunite´dehauteurdelasource.
1/Donnerunee´quationv´ifi´eeparlepotentiel.Donnerlesconditionslimitesdelavitesseimpos´ees
er
parlesmur.Proposerunesuperposition(sanslesmurs)desources(identiques)demani`erea`avoirles
mˆemesconditionslimitesqu’aveclesmurs.
2/Pouruneseulesource,donnerencoordonn´eescylindriques,lechampdevitesse.Montreralorsque
lasuperpositiondessourcesdonnebienune´coulementpotentiel.
3/Sachantqu’ilyaunicite´delasolutionpourl’´equationdeLaplace,d´eterminerlepotentieldes
vitesses (lorsqu’il y a les quatre sources superposees).
´
2
