Exercices de calcul différentiel – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Calcul différentiel
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01 janvier 2012
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Français
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Calcul différentiel et EDO (2) : Calcul différentiel
1. Soitf∈ C0(RR)etg(x y) =Z0y(x−t)f(t)dt. Prouver quegest de classeC1surR2et
déterminer sa différentielle.
2. Montrer que l’application définie parf(X) =X2surMnn(R)est de classeC∞et déterminer
sa différentielle.
3. Déterminer les7→xy
extrema def: (x y+1()x)(1 +y)(x+y)sur(R∗+)2.
4. Soit(a b)∈R2etfab: (x y)∈R27→(x+asiny y+bsinx)∈R2.
Montrer quefabsurjective. Trouver une condition nécessaire et suffisante surest (a b)pour
quefabsoit unC1−difféomorphisme deR2surR2.
5. Soitfune fonction deR2dansRtelle que :∀t∈R++(x y)∈Dfk⇒(tx ty)∈Df
∀t∈Rf(tx ty) =t f(x y)
fest dite k-positivement homogène.
(a) Démontrer que, sifest k-positivement homogène et de classeC1, alors :
∀(x y)∈Df2xD1f(x y) +yD2f(x y) =kf(x y)
Etudier la réciproque.
(b) Démontrer que, sifest de classeC1, alors :D1fetD2fsont(k−1)−positivement homogènes.
Etudier la réciproque.
6.fest une fonction continue deRdansR. On définit une fonctionGndeR2dansRpar :
n
Gn(x y) =Z0yf(u) (x−!u)du
n
Démontrer queGnest de classeC1et calculer sa différentielle.
7. On approche la solution de(Dy=f(t y) y(t0) =y0)pourh∈R∗fixé par la suite
∀n≥0tn+1=tn+ yh n+1=yn+hf(tn+h2 yn2+fh(tn yn))
On suppose quef∈ C2(R2). Déterminer unDL3quandh→0dey(t1)−y1.
On suppose queh= 1etp∈N∗. Déterminer un majorant dt
pey(p)−yp.
8. Soitg∈ C2(R2R)une fonction harmonique etf∈ C2(RR)telle que∀t∈R D2f(t)6= 0.
A quelle conditionf◦gest-elle harmonique ?
y=g(y x)−g(x y)s
9. Soitgune fonction de classeC1deR2dansRetψ(x)y−xix6=y.
Démontrer queψest prolongeable en une fonction continue surR2.
En déduire la valeur deζ(a) =(xyl)i→m(axy−yx
exy−ey.
a)x
10. Soitf(x y) =xsinx2y+−yy2sinxsi(x y)6= [00).fadmet-elle un prolongement continu surR2? Ce prolongement
est-il de classeC1?
x2y22x.
11. Soitfla fonction de(]0+∞[)2dansR2définie par :f(x y) = 2y
Etudier l’existence d’une fonction réciproquef−1et calculer ses dérivées partielles d’ordre 1 et 2 après avoir
démontré leur existence.
12. Déterminer un ouvertUdeR2tel queϕ: (x y)7→(x−y xy)soit unC1−difféomorphisme deUsurϕ(U).
2de diagonaleΔetf(x y) =xy1((1−−xy))isisxx≥y. Mo
13. Soit le carré deR2donné par[01]≤yntrer quefadmet un
maximum sur le carré en un seul point à préciser.Mines
14. Déterminer les triangles d’aire maximale inscrits dans un cercle donné.
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
e1-2
e1-45
e2-036
E1-51
e2-060b
E1-9
e1-41
E1-18
E1-48
E1-14
E1-20
E1-50
e2-007
e2-032
Calcul différentiel et EDO (2) :
15.
16.
Calcul différentiel
Quel est le pavé de volume maximal dont la somme des longueurs des artes estL? dont la somme des aires des
faces estA?
MetM0décrivent respectivement deux cercles tangents extérieurement enOQuelle est l’aire maximale du triangle.
(O M M0)?Centrale
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
e2-057
E2-67
