Exercices d’analyse – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Séries de fonctions

Analyse (6) : Séries de fonctions

Les incontournables :
1
1. Montrer queZx−xdx=n+X=∞1n1n.
0
+∞
∀x∈]01] x−x=Xun(x)oùun(x) = (−nxnl!x)n.
n=0
– La série de fonctionsXunCVS sur]01]de sommeS= (x7→x−x)∈CM(]01]).
– Pour toutn∈N,unadmet un prolongement dansC([01])donc estL1(]01]).
– On étudieXInoùIn=Z10|un|.
Pour tout0≤i≤j,fij= (x7→(lnx)ixj)∈L1(]01])(prolongement dansC([01])) et
Z1fij=−ji+ 1Z01fi−1jd’oùZ01fii= (−1)i(i+i!)1iZ01f0i= (−1)i(i+i!1)i+1.
0
∀n In=(n1+)1n+1et∀n≥1 In≤n12doncXInest une série numérique convergente.
rme,S∈L1(]01])etZ01S=n+X=∞0Z10u+∞11=+X∞n1n.
D’après le thm d’intégration terme à ten=X(n+ 1)n+n=1
n=0
2. EtudierZ+0∞+X1∞e−nxsin(x)dx.
Soitun(x) =e−nxsin(x).
– La série de fonctionsXunCVS sur]0+∞[ de sommeS= (x7→e−xsinx= sxin−x1 )∈CM(]0+∞[).
1−e−xe
– Pour toutn∈N,un∈L1(]0+∞)car∀x∈]0+∞[|un(x)| ≤e−nx.
ùIn=Z+∞|un|.
– On étudieXIno0
+∞
∀n≥1 In=ImZ0+∞e−nx+ixdx=Ime−−nnx++iix0mIn1−i=n2+11doncXIn
=
est une série numérique convergente.
D’après le thm d’intégra+∞=+∞1.
tion terme à terme,S∈L1(]0+∞[)etZ+0∞S=n=+X∞1Z0n=1
unXn2+ 1
+∞1
3. Soitζ:t7→Xt. Limite en 1, en+∞continuité, variations, convexité de la fonction, ζ.
1n
Soitun(t) =n1t.
∀n≥1 un(t)≥Znn+1xdtxet, sit >1, alors(x7→oncζ(t)≥Z+1∞x=t−11
x−t)∈L1([1+∞[)dx−td
donc +lim =∞.
t→1+ζ(t)
Plus précisément,∀n≥2 un(t)≤Znn−1xdtxdonct−11≤ζ(t)≤1 +t−11:tli→1m+(t−1)ζ(t) = 1
ieζ(t)t→∼1+t−11.
Etude en+∞:
–limu1(t) = 1 =l1et∀n≥2tl→i+m∞un(t) = 0 =ln.
t→+∞
– Soit un[a+∞[∈V(+∞) (a >1).kunk+[a∞+∞[=n1adoncXunCV normalement sur
[a+∞[.
+
D’après le thm de la double limite, (Xlnconverge) ettl→i+m∞X∞n1t=+X∞ln= 1ietl→i+m∞ζ(t) = 1.
1 1
k
Prouvons queζestC2(]1+∞[)et queζ(k)= (t7→+X∞(−lnntn))pourk= 02.
1

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Analyse (6) : Séries de fonctions

–∀n∈N∗ un∈ C2(]1+∞[)etun= (t→(−lnntn)k)pourk= 02.
(k)7
– Soit[a b]⊂]1+∞[.ku(nk)k[+a∞b]= (lnnna)k=o(n1c)oùc∈]1 a[doncXu(nk)(k= 02) CV
normalement sur tout segment de]1+∞[(CVN locale).
d’où le résultat d’après les thm de transfert de continuité et de dérivation terme à terme.
En particulier,ζest décroissante et convexe sur]1+∞[.
4. Soitf(x) =+X∞sco1nxsinnx. Etudier l’existence def(x). Démontrer quefest de classe
1n
C1surRπZ. CalculerDf; en déduiref.D2-048
Soitun(x) = cos 1nxsinnx.
n
Existence def(x):
Six∈πZ, alorsXun(x) =X0converge de sommeS(x) = 0.
Six∈ πZ, alors∀n|un(x)| ≤ |cosx|nqui est le TG d’une série géométrique convergentece
doncXun(x)est ACV.
La fonctionfest donc définie surR. De plus, elle est2π−périodique et impaire.
Dérivation sur]0 π[:
–∀n∈N∗ un∈ C1(R)etu0n= (x7→cosn−1xcos(n+ 1)x).
– Soit[a π−a]⊂]0 π[.ku0nk[+a∞π−a]≤cosn−1aet0≤cosa <1doncXu0nCV normalement
sur tout segment de]0 π[(CVN locale).
– On a déjà prouvé queunCV ponctuellement sur]0 π[.
+∞
D’après le thm de dérivation terme à terme,f∈ C1(]0 π[)et∀x∈]0 π[ f0(x) =Xcosn−1xcos(n+1)x.
n=1
Xn−1

Soitx∈]0 π[fixé.cosxexp(i(n+ 1)x)est ACV de sommeαoù
α= exp(2ix)1−cosx1p(exix)=21−(eepxpx2(i2xix2)=)−2exiins(pxxi)doncf0(x) =−1.
f(π2) = 0donc∀x∈]0 π[ f(x) =−(x−π2)etf(0) =f(π) = 0.fétant2π−périodique et
impaire, elle est maintenant connue surR(et on peut constater qu’elle est discontinue en tout
point deπZ).

Pour aller plus loin :
+∞
{|x−n| n∈Z}etf(x) =Xnx).
5. On poseφ(x) = infn=043nφ(4
(a) Prouver queφest lipschitzienne et1−périodique.
(b) Prouver quefest définie,1−périodique et continue surR.
(c) Prouver quefn’est pas dérivable en 0.

D2-056
[(a)Φ(R)⊂[012]etΦest1−périodique donc il suffit d’étudier|Φ(x)−Φ(y)|quandx∈[01]et0≤y−x≤12;
(c) Soit0< x <1. Déterminern1(x) n2(x)pour que41≤4nx≤43pour toutn∈[n1(x) n2(x)];
n2(x)
f(x)≥X(34)n14x→∼0(34)n1(x)(carlxi→m0n2(x)−n1(x) = +∞) etxli→m0f(xx) = +∞. ]
n1(x)

Pour s’entraîner :
+X∞(−1)n). Prouver queS∈ C∞(R∗+). CalculerS(1). Prouver que∀x >0
6. SoitS(x) =0n!(x+n
n=
1
Prouver queS(x)∼et déterminer unDL3en1quandx→+∞.
0+x x

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

xS(x)−S(x 1+ 1) =e.

Analyse (6) :

7.

8.

9.

10.

11.

Séries de fonctions

Prouver que∀x≥1S(x) =Z10tx−1e−tdt.CCP
−
[S(1) =e11 xS(x)→x→0S(1)+e1 S(x 1) =x+X∞(−n1)!n(1+xn)−1et(1+xn)
n=0
d’oùS(x) =e1x+ 1e−x2e+x13+O(1x4)]
Existence et calcul deX(lnt)nd
+=∞1n1!Zxt.
n1

[(x−1)22]
CalculerIn=ZR=ZRe
n−x2ion den. CalculeI−x2−ixdx.CCP
x edx ren fonct
[I=√πe−14]

−1= 1−nnx22−3(1n+3nx)
+
x x

On noteEla fonction partie entière etD=x7→x−E(x).
Prouver que la série de fonctions de terme généralun=x7→D2(nnx)converge normalement surR. On noteUsa
somme.
Prouver queUpériodique, continue en tout point deest RQet discontinue à gauche en tout, continue à droite
pointa∈Qet calculerU(a)−limU(x).
x→ax<a

[ Sia=qpavecp∧q= 1, alorsU(a)−limU=−1−112q]
−
a
(a) On admet que1+X∞n12=π62. Montrer que :Z]01[lntln(1−t)dt= 2−π62.
1
(b) Existence et calcul de l’intégrale :Znl+11−ttdt.
]0+∞[t
(c) Existence et calcul de l’intégrale :Z]0 1[xln−x1dx.


[ (b) :−π22, (c) :π26]

(a) Equivalent en0+de+X∞n+1n2x. (Encadrer par des intégrales)
n=2
(b) Equivalen+∞1
t en+∞deXn+2.
n x
n=1
+∞
1
(c) Montrer qusinhxst un équivalent en+∞deXinh1snx.
e e
n=1

[ (a) :−lnx, (b) :π2(6x)]

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

d2-061

D2-016

d2-012

d2-029

D2-044

D2-50