Exercices d’analyse – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Dérivée, primitive

Analyse (4) : Dérivée, primitive

Les incontournables :
1. Prouver que, pour touta∈R,y7→Zyaet2dtest unC∞−difféomorphisme deRsurRet
déterminer leDL2en0de la fonction réciproque.
f=y7yet2t.
→Za
Soit d
h=t7→et2est continue surRdoncf∈ C1(R)de dérivéeh(thm fondamental). De plus
h=Df∈ C∞(R)doncf∈ C∞(R).
limf=ε∞cart7→et2est non intégrable surRεet AVP,f∈ C1(R)etDfne s’annule pas,
ε∞
doncfest unC1−difféomorphisme deRsurR:f−1∈ C1(R)existe.
De plus,D(f−1) =Df◦1f−1doncD(f−1) = exp[−(f−1)2]et, par récurrence immédiate,
∀n∈N f−1∈ Cn(R)doncf−1∈ C∞(R).
2
f−1(0) =a, doncD(f−1)(0)−a
e.
=
D2(f−1)(x) =−2f−1(x)D(f−1)(x)e−(f−1(x))2, en particulierD2(f−1)(0) =−2ae−a2e−a2=−2ae−2a2.
D’après la formule de Taylor-Young :f−1(x) =a+e−a2x−ae−2a2x2+o(x2).
2. Soitfune fonction de classeC2deRdansRntelle quefetD2fsoient bornées surR.
Montrer queDfest bornée surRet quekDfk∞≤p2kfk∞kD2fk∞. (On pourra utiliser
des développements def(x+h)etf(x−h))C4-020

3.

f(x+h) =f(x) +hDf(x) +R2(h)etf(x−h) =f(x)−hDf(x) +R2(−h)d’après la formule
de Taylor donc21h(f(x+h)−f(x−h)−R2(h) +R2(−h)) =Df(x).
|R2(t)| ≤t2M22(!t)oùM2(t)est un majorant de|Df|sur[x x+t](ou[x+t x]); on peut choisir
M2(t) =kD2fk∞.
Supposonsh >0.
|Df(x)| ≤12h(|f(x+h)|+|f(x−h)|+|R2(h)|+|R2(−h)|)≤1(2kfk∞+2h2kD22!fk∞) =khfk∞+hkD22fk∞.
2h
D2fest donc bornée et pour touth >0,M(h) =kfhk∞+hkD22fk∞est un majorant de|D2f|.
DM(h) =− kfk∞kD2fk∞s’annule enh=h0=sk2Dk2ffkk∞∞etMa un minimum en ce
h2+2
point, donc en particulierkDfk∞≤M(h0) =p2kfk∞kD2fk∞.
Etude et courbe représentative dex7→Z1xx2√1d+tt3!.C6-017
x2
Soith=t7→ √1+1t3etf=→Z1x
x7h.
– Ensemble de définition :
hn’est définie que surI=]−1+∞[donc pour quef(x)existe, il est nécessaire que
]1x x2[⊂Iou bien]x21x[⊂I.
Cas 1 :]1x x2[⊂I⇐⇒−1≤1xet1x≤x2⇐−⇒1≤1xet0≤x4−x=x(x3−1)⇐⇒
Six >1oux <−1, alorshest continue sur le segment[1x x2]doncf(x)existe (et
f(x)≥0).
Six= 1, alorsf(x) = 0.
Six=−1, alorsh∈CM(]−11])et est AVP.h(t)t→∼−1+1(1t√)312doncf(−1)existe.
Cas 2 ;]x21x[⊂I⇒⇐−1≤x2etx2≤1x⇐⇒0≥x4−x=x(x3−1)⇐⇒0≤x≤1.
Si0< x <1, alorshest continue sur le segment[x21x]doncf(x)existe (etf(x)≤0).
Six= 0,1xn’existe pas doncf(x)non plus.
Conclusion :fest définie sur]− ∞−1]∪]0+∞[.
– Variations :
hest continue surI=]−1+∞[etx7→x2 x7→1xsontC1sur leurs domaines de

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

x≥1oux≤ −1.

Analyse (4) : Dérivée, primitive

définition doncfestC1sur]− ∞−1[∪]0+∞[etDf(x) = 2xh(x2)− −x21h(1x)(thm
1
.
fondamental), ieDf(x) =√2+1xx6+√x4+x
Six >0, alorsDf(x)>0.
Six <−1, alorsDf(x)>0⇐⇒√1−+2xx6<√x41x⇐⇒3x6+4x3−1<0⇐⇒x > α=−313q18 + 9√7.
+
Conclusion :fest décroissante sur]− ∞ α]puis croissante sur[α−1[et sur]0+∞[.
– Limites :
h∈CM(]−1+∞[)donclimZ0uh= 0.
u→0
u
h(t)t→∼+∞t312dou→+∞Z0xiste.
nclimh=Le
Etude en±∞:f(x) =Z0x2h−Z01xh→L;y=Lest asymptote.
mDdonc la tangente en(−1 f(−1)est parallèle àOy.
Etude en−1:li−1f= +∞
x
Etude en0+:f(x) =Z0x2h−Z1h→ −Letli0mDf= +∞;(0−L)est point limite et
0
la tangente y est parallèle àOy.
x
Soitfune fonction continue deR+dansR+vérifiant∃k >0∀x >0f(x)≤kZ0f.
Démontrer quef= 0.C6-011
Z

4.

x
fest continue surR+et0∈R+doncF=x7→festC1surR+de dérivéef(thm
0
fondamental).
∀x >0 DF(x)≤kF(x)⇒⇐∀x >0 e−kxDF(x)−ke−kxF(x)≤0⇐⇒G=x7→e−kxF(x)
décroit surR+, orG(0) = 0doncG= 0.
∀x >00≤f(x)≤kekxG(x) = 0doncfest nulle surR∗+et continue en0, donc nulle surR+.

Pour aller plus loin :
5. SoitΔn=Z10f−12nf(0) +f(1) + 2kn=−X11fkn!.
(a) On supposef∈ C1([01])etf0lipschitzienne sur[01]; démontrer quelimnΔn= 0.
(b) On supposef∈ C2([01])etf”lipschitzienne sur[01]; démontrer quelimn2Δn11=2(f0(0)−f0(1)).
Zkn
On pourra utiliser des développements de Taylor de la fonctionGk:x7→xfenk.
n

Pour s’entraîner :
6. Soitfdéfinie parxx≤>00⇒⇒ff((xx=))=e0−1x
Montrer quefest de classeC∞surR∗.
Montrer quef(n)(x) =Pn1xe−1xoùPnpolynôme dont on précisera le degré. Montrer queest un f
surRet calculerf(n)(0).
Déterminergde classeC∞surR, positive strictement sur]a b[et nulle partout ailleurs.Mines

[g=f◦hoùh=t7→x=h(t) = (t−a)(b−t).]
7. Soitfune fonctionC2deRdansRtelle que∀(x y)∈R2f(x+y)f(x−y)≤f2(x).
Démontrer que :∀x∈Rf(x)f”(x)≤f02(x).
[ϕ=y7→f2(x)−f(x+y)f(x−y)estC2,Dϕ(0) = 0etϕest AVP d’oùD2ϕ(0)≥0.]

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estC∞

C6-100

c4-006

C4-003

Analyse (4) : Dérivée, primitive

8. Soitfcontinue sur[a b]à valeurs dansR∗+etn≥2.
(a) Montrer qu’il existea=x0< x1<  < xn=btels que :
1
∀k∈[1 n]Zxkx−k1f(t)dt=nZbaf(t)dt

9.

10.

n
(b) Calculernl→im+∞n1Xf(xk)
k=0

Mines
[(a) :xk=F−Rbf2]
1(nkZbaf)oùF=x7→Zxaf;(b) :Rbaaf
Soitfune fonction dérivable surRvérifiantf◦f(x) =ax+boùaetbsont deux réels,a6= 0eta6= 1.
(a) Montrer quefest monotone, bijective et queaest positif.
(b) Trouver une relation analogue pourf−1.
(c) Montrer quef0est constante, puis exprimerf.
(d) Dans le cas oùa= 1, montrer quebest nul oufcroissante.
Centrale
[(b) :f−1◦f−1(y) =a1y−ab; (c) :∀n f0(x) =f0(un)oùu0=x un+1=aun+b(casa <1; sinon,
−1
on étudief)]

Prouver que]−π2 π2[→Radmet une réciproque(y7→x=F(y).
x7→y= tanx−x
Existence et calcul de(a1 a2)∈R2tel queF(y) = 2π+ya1+ya22+oy→0y12.

[x7→z=tanx1−xa un prolongement enπ2qui induit unC1−difféo de]0 π2]sur[0+∞[de
réciproquegqui est en faitC2d’oùg(z) =π2 +zg0(0) +z2g”(0)2 +o(z2).]
11. Etudier la fonctionFdéfinie surR?+parF(x) =e1xZxe−1tdt.
0
[Fest croissante surR∗étude en0:0≤F(x)≤x√362; étude en+∞:F(x) =ke1x+e1xZ1xe−1tdt
+;
et sit≥1, on peut encadrer (TSSA)1−1t≤e−1t≤1−1t+ 12t2d’où une BP de directionOy.]
x
ion définie et continue sur[0 1]et telle que∀x∈[0 1]f(x) =Z0
12. Soitfune fonctf(t−t2)dt.
Montrer que, siM= sup|f(t)|, alors∀x∈[0 12]|f(x)| ≤M2.

0≤t≤12
En déduire la valeur def.

[f= 0]

13. Soitfune fonction continue deRdansRvérifiant∀x∈R

Démontrer quefest la fonction nulle.Mines

f(x) =

Z0ax

f(t)dtpour une valeura

∈]0

[kfk∞≤akfk∞.]
14. Déterminer toutes les fonctionsg)−g(Z2x+y
cont