Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Suites numériques : énoncés
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01 janvier 2012
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Français
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Analyse 1
SUITES NUMERIQUES
Exercice 1
n2n +1 4n + 3
1) Démontrer par récurrence que : ∀n ∈* n ≤ k ≤ n . ∑
3 6k=1
n
2) En déduire un équivalent de S = k quand n tend vers l’infini. n ∑
k =1
Exercice 2
On définit deux suites (u ) et (v ) par leurs premiers termes u = 1 et v = 2 , et par n n 0 0
u = 2u + 3v n+1 n nles relations de récurrence : ∀n ∈ .
v = 2u + v n+1 n n
1) Exprimer u en fonction de u et de u . n+2 n+1 n
2) En déduire le calcul de u , puis de v en fonction de n. n n
Exercice 3 (d’après ESSEC voie E)
Soit (u ) la suite définie par u = 1, u = 2 , u = 6 et ∀n ∈ u = 3u − 2u . n 0 1 2 n+3 n+1 n
1) Soit q un réel. On définit la suite (v ) par : ∀n ∈ v = u − qu . Exprimer n n n+1 n
v en fonction de v , v et u . n+2 n+1 n n
2) En déduire qu’il existe deux valeurs de q pour lesquelles la suite (v ) suit une n
récurrence linéaire d’ordre 2. On notera (v ) et (v' ) les deux suites obtenues. n n
3) En déduire l’expression de v et v' en fonction de n. n n
4) En déduire l’expression de u en fonction de n. n
Exercice 4
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b . On définit deux suites (u ) et (v ) par n n
2u v u + vn n n nu = a et v = b , et les relations : ∀n ∈ u = et v = . 0 0 n+1 n+1u + v 2n n
1) Montrer que : ∀n ∈ 0 < u ≤ v . n n
2) En déduire le sens de variations des suites (u ) et (v ) . n n
1
3) Montrer par récurrence que : ∀n ∈ 0 ≤ v − u ≤ (b − a) . n n n2
4) Montrer que les deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?
5) Montrer que la suite de terme général u v est constante. En déduire les limites des n n
suites (u ) et (v ) en fonction de a et b. n n
6) En déduire un programme en Turbo-Pascal permettant de calculer une valeur
−9
approchée à 10 près de 6 .
Exercice 5 (EDHEC 1996 voie S)
π
Dans cet exercice, x désigne un réel de l’intervalle 0, . 2
x
1) Soit la suite réelle (u ) définie par u = cos x et : ∀n ∈ u = u cos . n 0 n+1 n n+1
2
x
a) Montrer que la suite de terme général v = u sin est géométrique. n n n2
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 2
b) En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de u en fonction de x et n. n
c) Montrer enfin que la suite (u ) est convergente et donner sa limite. n
2) On considère le programme suivant qui permet le calcul des (n +1) premiers
termes de deux suites (a ) et (b ) : n n
Program Suites ;
var x, a, b : real ;
k, n : integer ;
Begin
Readln(x) ;
Readln(n) ;
a := 1 ;
b := 1 / cos(x) ;
For k := 1 to n do
begin
a := (a + b) / 2 ;
b := sqrt(a * b) ;
end ;
Writeln(a, b) ;
End.
a) Préciser leurs premiers termes a et b en fonction de x. 0 0
b) Calculer a et b en fonction de x. 1 1
c) Ecrire, pour n ∈* , les relations de récurrence liant a , b , a et b . n n n−1 n−1
d) Montrer que, pour tout entier naturel n, a > 0 et b > 0 . n n
an
3) a) Etablir que : ∀n ∈ * b − a = (b − a ) . n n n−1 n−1
2( b + a )n−1 n
b) Montrer que : ∀n ∈ a < b . n n
c) En déduire les variations des suites (a ) et (b ) . n n
1 1
d) En utilisant le 3) a), montrer que : ∀n ∈ 0 < b − a ≤ −1 . n n n
2 cos x
e) En déduire que les suites (a ) et (b ) sont convergentes et ont la même limite l . n n
x
u cos n n u2 n4) a) Montrer que, pour tout n ∈ , on a : a = et b = . n n2 2cos x cos x
b) En déduire la valeur de l .
Exercice 6 (Mines 2001)
La dernière partie de cet exercice fait appel aux espaces vectoriels.
Dans tout l’exercice, on considère un réel a non nul et un polynôme P ∈[X ] .
Soit (u ) une suite réelle qui vérifie : ∀n ∈ u = au + P(n) n n+1 n
Partie A
On suppose dans cette partie que a = 1.
n−1
1) En calculant (u − u ) , déterminer pour tout n ∈* l’expression de u en ∑ k+1 k n
k=0
fonction de n, u et des valeurs prises par P. 0
2) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
3 2par : u = −3 et ∀n ∈ u = u + 4n − 6n + 2n + 5. 0 n+1 n
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 3
Dans la suite de l’exercice, on suppose a différent de 0 et de 1.
Partie B
On suppose dans cette partie que P est le polynôme nul.
1) Préciser la nature de la suite (u ) et en déduire l’expression de u en fonction de n n
n, a et u 0
2) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
par : u = −3 et ∀n ∈ u = 2u . 0 n+1 n
Partie C
On suppose dans cette partie que P est un polynôme constant : P(X ) = b .
1) Préciser la nature de la suite (u ) et en déduire l’expression de u en fonction de n n
n, a, b et u 0
2) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
par : u = −3 et ∀n ∈ u = 2u + 5 . 0 n+1 n
Partie D
On suppose dans cette partie que P est un polynôme de degré 1 : P(X ) = bX + c .
1) Montrer qu’il existe un polynôme Q(X ) = rX + s tel que la suite de terme général
v = u − Q(n) soit géométrique. n n
2) En déduire l’expression de u en fonction de n, a, b, c et u . n 0
3) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
par : u = −3 et ∀n ∈ u = 2u + 5n − 4 . 0 n+1 n
Partie E
k k On suppose dans cette partie que : P(X ) = (X +1) − aX où k ∈*.
kv = u − n1) Déterminer la nature de la suite de terme général . n n
2) En déduire l’expression de u en fonction de n, k, a et u . Cette expression est-n 0
elle encore valable si k = 0 ?
3) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
3 2
par : u = −3 et ∀n ∈ u = 2u − n + 3n + 3n +1. 0 n+1 n
Partie F
On étudie maintenant le cas général, donc on suppose que P est un polynôme de degré
p ≥ 1 et (u ) une suite réelle qui vérifie : ∀n ∈ u = au + P(n) . n n+1 n
k k1) Pour tout k ∈ , on définit le polynôme : P (X ) = (X +1) − aX . k
a) Déterminer le degré du polynôme P . k
b) En déduire que les polynômes P , P , …, P sont linéairement indépendants. 0 1 p
p
c) En déduire qu’il existe des coefficients α tels que : P(X ) = α P (X ) . k ∑ k k
k=0
(k )
2) Montrer qu’il existe des suites (u ) pour k ∈P0, pT qui vérifient : n
p
(k ) (k ) (k )∀n ∈ u = α u et ∀n ∈ u = au + P (n) . n ∑ k n n+1 n k
k =0
3) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie par : n
3 2u = −3 et ∀n ∈ u = 2u + 2n + 3n − n + 4 . 0 n+1 n
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 4
Exercice 7
n k
On considère la suite (u ) définie par : ∀n ∈* u = 1+ . n n ∏ 2n k=1
1) Ecrire un programme en Turbo-Pascal demandant à l’utilisateur un entier n et
affichant la valeur de u . n
2x+2) Montrer que : ∀x ∈ x − ≤ ln(1+ x) ≤ x .
2
2 nn +1 2n + 3n +1 k n +1
3) En déduire que : ∀n ∈ * − ≤ ln 1+ ≤ . ∑ 3 22n 2n12n n k=1
n k
4) En déduire la limite de v = ln 1+ quand n tend vers + ∞ . n ∏ 2n k =1
5) En déduire la limite de u quand n tend vers + ∞ . n
Exercice 8 (d’après ESSEC 88 voie S)
n 1
On considère la suite définie par : ∀n ∈ * H = n ∑
kk =1
Partie A
1) Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l’utilisateur un entier n et qui
affiche la valeur de H . n
1 1
2) Démontrer que : ∀x ∈]0,+∞[ ≤ ln(x +1) − ln x ≤ .
x +1 x
3) En déduire que : ∀n ∈ * ln(n +1) ≤ H ≤ ln n +1. n
4) En déduire la limite de H et un équivalent de H quand n tend vers l’infini. n n
Partie B
