Exercices d'algèbre - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Polynômes : énoncés

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Catherine Laidebeure

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01 janvier 2012

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Ces exercices d'algèbre, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Ensembles et applications (2) Nombres réels (3) Nombres complexes (4) Polynômes. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Algèbre

POLYNOMES Exercice 1 1) Factoriser le polynôme :P(X)=X3−4X2+5X−2 . 2) Soit un entiern≥ Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme2 . Xnpar le polynômeP(X) .

Exercice 2 Soit un entiern≥2 etω =e2iπn. SoitPle polynôme :P(X)=Xn−1+Xn−2+...+X+1. 1) Déterminer les racines dePet en déduire sa factorisation dans[X] . n−11 2) En déduire le calcul deun=∏(1− ωk) , puis montrer que :kn∏=−sinnkπ=2nn−1. k=11 2 1 3) Comparernk∏−=11sin2kπnetk=n∏n+−sin2kπn. En déduirenk∏=−11sin2kπnen fonction den. 1 Exercice 3 Soitn∈ On considère le polynôme* .Pn(X)=(X+1)n−(X−1)n. 1) Déterminer le degré dePnet son coefficient dominant. 2) Déterminer les racines dePn dans et en déduire la factorisation du polynôme Pndans[X] . 3) En déduire la factorisation en produit de polynômes irréductibles dans[X] du polynôme :P(X)=(X+1)6−(X−1)6.

Exercice 4 (EM Lyon 2005 voie S) On considère la suite (Tn)n∈ polynômes de de[X] définie par :T0(X)=1, T1(X)=2Xet, pour tout entier natureln:Tn+2(X)=2XTn+1(X)−Tn(X) . 1) Déterminer les polynômesT2etT3. 2) Démontrer que, pour tout entier natureln,Tnest un polynôme de degréndont on déterminera le coefficient dominant. 3) Montrer que, sin est un entier pair (respectivement impair), alorsTn est un polynôme pair (respectivement impair). 4) Pour tout entier natureln, calculerTn fonction de(1) enn. 5) Montrer que, pour tout entiernet tout réelθ ∈ :]0, [Tn(cosθ)=sin(sinn+θ1)θ. 6) En déduire que, pour tout entier naturel non nuln,Tn admetn réelles, racines toutes situées dans ]−1,1[ , que l’on explicitera. 7) En déduire, pour toutn∈ la factorisation du polynôme* ,Tndans[X] . 8) En déduire, pour toutn∈ la valeur de* ,nk∏=1nis2(nk+πitcnof ne 1)e on dn. 9) Démontrer, pour tout entier naturelnet tout réelθ ∈]0, [ : sin2θTn"(cosθ)−3 cosθTn' (cosθ)+(n2+2n)Tn(cosθ)=0 Indication :On pourra dériver deux fois la fonction :θsinθTn(cosθ)−sin(n+1)θ. 10) En déduire, pour tout entier natureln: (X2−1)Tn" (X)+3XTn' (X)−(n2+2n)Tn(X)=0 .

Exercices de Mathématiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012

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