Exercice points
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BTN 2000 1 Btn 2000 Exercice 1 (8 points) Un hôtel dispose de 40 chambres soit avec bains soit avec douche. Toutes les chambres ne disposent pas de la télévision. La moitié des chambres avec bains ont la télévision. Les deux tiers des chambres sans télévision disposent d'une douche. Il y a un quart des chambres de cet hôtel qui disposent d'une douche mais pas d'une télévision. 1) Compléter le tableau ci-dessous : Avec télévision T Sans télévision T¯ Totaux Avec bain B Avec douche D Totaux 40 2) Une chambre est choisie au hasard parmi les 40 chambres de l'hôtel. Toutes les chambres ont la même probabilité d'être choisies. a. On note D l'événement : la chambre possède une douche. Montrer que P (D) = 0, 75. b. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : • T : la chambre possède la télévision ; • D ? T : la chambre possède une douche et la télévision. 3) Exprimer par une phrase claire chacun des événements suivants et en déterminer la probabilité : D¯ ; D¯ ? T ; D ? T¯ ; D¯ ? T¯ . Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien : Corrigé exercice 1 Exercice 2 (12 points) 1.
Voir
- corrigé de l'exercice
- d¯ ?
- points d'abscisses et d'ordonnées positives
- droites b1
- restaurateur dispose
- table ronde
BTN 2000 Btn 2000
1
Exercice 1 (8 points) Un hôtel dispose de40chambres soit avec bains soit avec douche. Toutes les chambres ne disposent pas de la télévision. La moitié des chambres avec bains ont la télévision. Les deux tiers des chambres sans télévision disposent d’une douche. Il y a un quart des chambres de cet hôtel qui disposent d’une douche mais pas d’une télévision. 1) Compléterle tableau cidessous :
Avec bainB
Avec doucheD
Totaux
Avec télévisionT
¯ Sans télévisionT
Totaux
40
2) Unechambre est choisie au hasard parmi les40chambres de l’hôtel.Toutes les chambres ont la même probabilité d’être choisies. a.On noteDl’événement : "la chambre possède une douche". Montrer queP(D) = 0,75. b.Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : •T;: "la chambre possède la télévision" •D∩T: "la chambre possède une douche et la télévision". 3) Exprimerpar une phrase claire chacun des événements suivants et en déterminer la probabilité : ¯ ¯¯ ¯¯ D;D∪T;D∪T;D∩T.
Pour voir le corrigé de l’exercice 1. cliquez sur le lien :Corrigé exercice 1 Exercice 2 (12 points) 1. a.Dans un repère orthonormal où1cm représente une unité, construire les droites : D1: 2x+y= 10 D2: 4x+ 3y= 50 D3: 2x+y= 20 On se limitera aux points d’abscisses et d’ordonnées positives. b.Déterminer par un calcul les coordonnées du point d’intersectionIdeD2etD3. 2 2.Un restaurateur veut acheter, pour sa salle de restaurant d’une surface de100m , des tables rondeset des tables 2 carrées. Une table ronde permet de servir8couverts, occupe8coûtem et3000F. Une table carrée permet de servir 2 4couverts, occupe6m etcoûte1500F. Le restaurateur dispose d’un budget de30000F et veut servir au moins 40couverts. On notexle nombre de tables rondes etyle nombre de tables carrées qu’il veut acheter. a.Exprimer, à l’aide d’un système d’inégalités surxety, les contraintes imposées par l’énoncé. b.Déterminer graphiquement l’ensembleSdes points du plan dont les coordonnées(x, y)vérifient le système obtenu (on hachurera la partie du plan qui n’est pas solution). c.On suppose que les tables sont complètement occupées. Les tables rondes laissent alors chacune un bénéfice de 400F au restaurateur et les tables carrées chacune un bénéfice de250F. Exprimer en fonction dexetyle bénéfice totalB(x, y)en F réalisé.
2
3. a.Représenter les ensembles (droites)B1etB2obtenus pour un bénéfice respectivement de3500F et4500F. b.Peuton avoir un bénéfice de6000F ? c.Quel est le bénéfice maximal et quels sont alors les nombres de tables que le restaurateur doit acheter (on justifiera la méthode utilisée)?
Pour voir le corrigé de l’exercice 2. cliquez sur le lien :Corrigé exercice 2
BTN 2000 Corrigé Btn 2000
Exercice 1 (8 points)
1) Ilfaut bien analyser les données :
Avec bainB
Avec doucheD
Totaux
Avec télévisionT
5
20
25
¯ Sans télévisionT
5
10
15
Totaux
10
30
40
10 ¯ ¯ Il y a équiprobabilité, les probabilités sont3)•D: "la chambre n’a pas de douche" etP(D= 0) =,25. 40 donc obtenues en calculant le rapport : ¯ •D∪T: "la chambre a un bain ou la télévision" nombre de cas favorables 20 + 5 + 53 nombre de cas possibles¯ P(D∪T) == =0,75 40 4 ¯ •D∪T: "la chambre a une douche ou n’a pas de télévision" 2) 30 a.P(D= 0) =,75. 40 20 + 10 + 57 ¯ P(D∪T0) == =,875. 25 5 40 8 b.P(T= =) =0,625. 40 8¯ ¯ •D∩T: "la chambre n’a pas de douche et pas de télévision" 20 P(D∩T) == 0,50. 5 1 40 ¯¯ P(D∩T0) == =,125. 40 8
3
4
Exercice 2 1. a.Représentation graphique pour tout l’exercice :
y
10
5
O
D3
D2
• I
solution graphique
D1
B1
5
b.Il faut résoudre : 4x+ 3y= 50(L1) (S) 2x+y(= 20L2) Par combinaisonL1−2L2on obtient presque directement la solution : y= 10 (S) 2x+y= 20 S={10 )( 5 ;}. 2. a.Les contraintes de l’énoncé conduisent au système d’inéquations : 8x+ 4y>40 8x+ 6y6100 ′ (S) 3000x+ 1500y630000 x>0 y>0
B3
B2
10x
BTN 2000
on peut simplifier :
2x+y>10 4x+ 3y650 ′ (S) 2x+y620 x>0 y>0
b.Les méthodes d’analyse des demiplans conduisent à hachurer comme le montre la figure cidessus.
5
c.Le bénéfice en fonction dexetyest : B(x, y) = 400x+ 250y 3. a.400x+ 250y= 3500se simplifie :8x+ 5y= 70. C’est l’équation d’une droiteB1passant par :(5; 6)et(0; 14). 400x+ 250y= 4500se simplifie :8x+ 5y= 90. C’est l’équation d’une droiteB2passant par :(5; 10)et(0; 18).
b.Un bénéfice de6000F correspond à la droiteB3:8x+ 5y= 120. Il est impossible (voir graphique).
c.Les droitesB1,B2etB3sont parallèles et la position maximale est celle deB2passant parI: il faut donc acheterx= 5ety= 10tables de chaque sorte pour un bénéfice de :400×5 + 250×10 = 4500F.
