Exercice N°220: Fonctions continues sur un intervalle
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Exercice 20 :tEzlacudienuitonti’lxee´tecndesietngloroeppatsenemunitnocre´ti
des fonctions suivantes :
√x+ 1− √x
1.f(x) =√xsix >0
2.f(x) = (ex+ 2x)x1six >0
x) =+135x26= 0
3.f(x2six
Exercice 21 :soitq∈Q⋆un nombre rationnel non nul.
1. Montrez queH={qm+ 2kπ; (m k)∈Z2}est un sous-groupe dense de
(R+).
2. Montrez que{cos(qn) n∈N}est dense dans [−11].
3.Ende´duirequepourtoutℓ∈[−11], il existe une suite extraite decos(nq)
convergente de limiteℓ.
Exercice 22 :Soitf:I→Rune fonction continue et injective.
1. Montrez quefest strictement monotone surI.
Indication :On pourra raisonner par l’absurde et supposer quefn’est pas
strictement monotone. Il existe en ce cas (a b c)∈I3aveca < b < ctel que
f(b) n’est pas compris entref(a) etf(c).
2. Montrez quefsiueenibre´laejectiondIsur un intervalleJet quef−1:J→I
est continue.
Exercice23:The´ore`medepointsfixesSoitf: [a b]→[a bnufe]oidnnotcfin´eie
sur un intervalle stable. On suppose que
∀(x x′)∈[a b]2 x6=x′⇒ |f(x)−f(x′)|<|x−x′|
3
1.D´emontrezquefest continue en tout point de [a b].
2.De´montrezquel’´equationf(x) =xdans[solutionennuqieuso`sdeuepa b].
exercices
des
Correction
Exercices d’approfondissement
Correction
Exercice 22 .—Par l’absurde : supposonsau contrairequefest continue, injec-
tive mais pas strictement monotone. En ce cas, il existe un triplet (a b c)∈I3
tel quea b csnomageursist,naastneuelidqsorarsp´eisroecdretcirtstgnartnem
parf(depuesquisea`xuxuedtsidtcnifest injective) ne sont rangees ni par ordre
´
croissant,niparordrede´croissant.Ainsi,deuxcassepre´sentent:
◮soitf(b)>max{f(a) f(c)};
◮soitf(b)<min{f(a) f(c)}.
Supposonssanspertedege´n´eralite´quef(b)>max{f(a) f(c)}scaixueeme`del,
´etanttouta`faitsemblable.Encecas,fixonsy∈Rtel que
max{f(a) f(c)}< y < f(b)
On applique alors lethor´eeme`vseduelanisrterm´ediairesentreaetbd’une part
et entrebetcd’autre part.
•Commef(a)< y < f(b),yeeriertnunevestirtnlauedeaire´mf(a) etf(b).
D’apr`esleTVIeetnerpalpqi´uaetb, il existex1∈]a b[ tel quef(x1) =y.
•Commef(c)< y < f(b),yelruenavseutreentdrieairm´eintef(b) etf(csepa`r).D’
leTVIppilatren´equebetccette fois, il existex2∈]b c[ tel quef(x2) =y.
Ainsi,f(x1) =f(x2) et pourtantx16=x2upuqsiex1< betx2> b, ce quicontredit
l’injectivite´def.N
des
4
exercices
