Exercice N°218: Étude locale des fonctions
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
Limites de fonctions
EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 17 :
1.Soitfuenofefiniesurnctiond´R+telle quef(x)∼x→0+
voisinage de 0+, ln(f(x))∼0+lnx.
2.Eudiez la limitexl→im0+ln(1 +x)x.
Cas des fonctions monotones
x’uuantmozqre´e.D
Exercice 18 :Soitf: [a+∞[→]0+∞[ une fonction croissante etc >1 une
constante.
Montrez que sixlimff((cxx)1=a,)tuotsrolruopd∈R+⋆,xl→i+m∞ff((dxx))1=
→+∞
Exercice 19 :Soitf:R+⋆→Relqusepoupns.Otenassiorce´dnoitcunefonil-a’pp
cationg´deparefini∀x∈R+⋆,g(x) =x f(x) est croissante et qu’il existea >0 tel
quef(a) = 0. Montrez quefest nulle sur [a+∞[.
Exercice 20 :Soitf:R+→Rune fonction croissante. On suppose que la suite
(f(n)est divergente vers +∞. Montrez quexl→i+m∞f= +∞.
Exercice 21 :Soientf g:R→Rdeux fonctions telles que
•gequdiep´stioer
mf(x0
•xl→i+∞) =
•f+gest croissante.
Montrez quegest constante.
Misc
Exercice 22 :Soitf:R+→Rdelenouguersurtoutintervallnofeoitcrobnee´nun
1.
1.On suppose quexl→i+m∞[f(x+ 1)−f(x lim)] = 0. Montrez quef(x 0.) =
x→+∞x
2.On suppose quexl→i+m [f(x+ 1)−f(x)] =ℓ∈R. Montrez que limf(x=)ℓ.
∞x→+∞x
4
semainedu27f´evrier2012
