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MPSILyc´eeRabelias
d´etsdesnantermisorP´irpe´te
D´eterminants
Exercice 1 :SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie etfun endomorphisme
deEverifiantf2=−idE. Montrez quedimREest pair.
´
Exercice 2 :esn’trtzeMnoecartricnemaqu’uirte´mysitnaee´rirpaimrerd’oedqu
pas inversible.
Exercice 3 :SoitMe´deo’drerunematricecarrn. On suppose queMest de rang
strictementinf´erieur`an−1. Montrez que sa comatrice est nulle.
Exercice 4 :Soit Φ∈ L(Rn[Xpira]d)e´nfi
]x+1˜
x) =Zx
∀P∈Rn[X]∀x∈RΦ(P)(P(t)dt
Calculezlede´terminantdeΦ.Est-ceunautomorphismedeRn[X] ?
Exercice 5 :SoitT:Mn(R)→ Mn(Rplapl’)nqioatictuota`iuecirtamecarr´ee
d’ordrene.elcCaezuld´lereteanimedtnasscoeiasrtnapssoT.
´
reim´dtesledlaucsnCant
Exercice 6 :itcnofne,zeluclaestr`eamarspdeonCa b c deldse´et,sui-rminants
vants(vousexprimerezlesr´esultatssousformefactoris´ee):
0a b
1. Δ =a0c
b c0
1 1 1
2. Δ =a b c
a2b2c2
a a a a c a b c
4. Δ =a b b b5. Δ =bccbac
a b c c c a
a b c d c b a c
1 1 1
3. Δ =a b c
3
a3b c3
a c c b
6 Δ =cabcbc
.
a c
b c c a
Exercice 7 :etsd’ordretmrninazeeldse´Caullcn∈N⋆suivants, en utilisant les
proprie´t´esdud´eterminant:
S1S1S1 S1
S1S2S2 S2k
1. Δn=S1S2S3 S3,`ou∀k∈[1 n]] Sk=Xi
.
.i=1
. . ...
S1S2S3 Sn
1
Semainedu12aoˆut2011
a1a2a3 an
a1a1a2 an−1
2. Δn=........u(o`,a1 a2 an)∈Kn
.
.
..a2
a1a1a1 a1
a0 0 0
0 0a
3. Δn= 0 0au0o`a∈K
.a.
0a0 0
Exercice 8 :ete´dselzeluclaCdred’orantsrminn∈N⋆lbatassinutnenee´tn,siuavs
relationder´ecurrence:
0 1 1
. .
.
1. Δn=−1 . . . .
. .
. . . . 1
.
−1 − 1 0
2a a0
. .
. .
a2a. .
2 . . . . .
. Δn . .= 0 . .
. . .
. . .
.. . .
0 0a
a+b b b
. .
3. Δn=a. . . ..
.
.. . . .b
.
a a a+b
0
.
0 ,
a
2a
Exercice9:D´eterminantdeVandermonde
Ond´efinitpourtoutn-uplet (x1 x2 xn)∈Kn
1x1x21 xn−1
1
1x2x22 xn2−1
V(x1 xn) =. . . .
. . . .
1xnxn2 xnn−1
1. CalculezV(x1 xntedue)´ndse´eprroeti´ntiasple
V(x1 xn−1 x).
la
fonction
x
→
2. Soient (a1 ansces)dsdreaialdaueue`xitcndxsi(tsetb1 bn) des sca-
lairesquelconques.Montrezqu’ilexisteunpolynoˆmeP∈Kn−1[X], unique,
tel que
∀i∈[1 n]] P(ai) =bi
stnaete´nimrnsiosddeplApatic
Exercice 10 :DansR3sur,euqinonetcevseleparent´secasabaoiru~= (−124),
v~= (317) et~w= (2−2 ? est-elle directe ?1) forment-ils une base
Exercice 11 :Soitfm∈ L(R3reprriceamatontlvietntae´es)demsihpromodne’l
m2
dans une baseBestA=11m3+m1 0m1u`o,m∈R.
Pour quelles valeurs dem,fmest-il un automorphisme deR3?
Exercice 12 :Soit (a b c d)∈K4ux`a,dedistdeuxtcni´R.suoselerdysesemt`e
x+y+z= 1
ax+by+cz=d
a2x+b2y+c2z=d2
Exercice 13 :SoitP∈R[Xie´re´fnueir´uoraleg`a]unpolynˆomededegn−1. Soit
x∈R. Montrez que
P(x)
P(x+ 1)
.
P(x+ 1)
P(x+n)
P(x+n+ 1)
.
P(x+n)P(x+n+ 1)
= 0
.
.
P(x+ 2n)
Exercice 14 :SoitEunRsebaneectoacev-esp`euaro´tarppirleBetf
l’endomorphismerepresente´par
´
MB(f) =A=−32−26−36
2−2−2
1. Pour quelles valeurs deλ∈Ra-t-on Det(A−λI3) = 0 ?
2.D´eterminezunebaseC= (ǫ~1ǫ~2ǫ~3) telle que
MC(f) =020004001
∈ L(E)
2
nallsuoeMecsi
Exercice15:Polynoˆmecaracte´ristique
1. SoitA∈ Mn(Kedetiquerisact´racemoˆnylopeL.)Apirae´nfisedt
∀λ∈K χA(λ) = Det(A−λIn)
(a) sineuqzefi´eri=2,vχA(λ) =λ2−Tr(A)λ+ Det(ATu(ro`),A) =
a1 1+a22est la somme des coefficients diagonaux deA
Nb :Tr(Aeelapel´)eapsttracedeA.
(b)D´eterminezlepolynˆomecaracte´ristiqued’unematricetriangulaire.
(c)Justifiezquelepolynˆomecaracte´ristiqueestunpolynoˆme.Pre´cisezson
degre´,soncoefficientdominantetsoncoefficientconstant.
(d) Montrez que le coefficient deλn−1est (−1)n−1Tr(A).
(e)Montrezquedeuxmatricessemblablesontmeˆmepolynoˆmeca-
racte´ristique.
2. Soitfun endomorphisme deKnnonaeuqicmetairecci´e`aunmentasso
A∈ Mn(K).
D´efinition:Un scalaireλ∈Kest unevaleur propredef(ou deA) si
~
Ker(f−λId)6={0}.
Lee´isue-osssocpreaeprospacorpruelavala`eprλest alorsEλ(f) =
Ker(f−λId).
(a) Montrez que pour toutλ∈K,
λest une valeur propre defsi et seulement siλest racine du
polynˆomecaract´eristiqueχA.
(b)De´terminezlesvaleurspropresetlessous-espacespropresdel’endomor-
phisme canoniquement associe a
´ `
1111−11−11
A=11−−11−11−11
Exercice 6 .—
Exercice 10 .—
Exercice 15 .—
Correction des exercices
3