Exercice N°127: Espaces vectoriels

MPSILyc´eeRabelias

Espaces vectoriels (I)

Starting in Kn
Exercice 1 :nssndioCsnade´orR3les vecteurs~x= (110),y~= (001),~a= (111)
~
etb= (11−eutnomqzer1).D´e
~
Vect{~~yx}=Vect{~ba}

Exercice 2 :cnnoOanseredsid`R3les trois vecteursx~= (121),~y= (2−1−2)
et~z= (−12 k´D.)reteenimzk∈Rde sorte que~z∈Vect{x~~y}.

Exercice 3 :SoitF={(x y z t)∈R4|2x+y= 0 t=
G={(x y z t)∈R4|x+ 2y+ 3z+t= 0}.
1. Montrez queFetGsont des sous-espaces vectoriels deE.
2.D´eterminezF∩Get donnez-en une base.

−x+ 3z}et

~
Exercice 4 :ansnods´drenoisCR3les vecteurs~a= (4−53),b= (23−2),
~ ~ ~
c~= (4−1610) etd= (81−1). On noteF=Vect{~ab~cd}le sous-espace
vectoriel deR3enndgeepr´ecraauqsvertetceru.s
1.De´terminezles´equationsdeF.
2.De´terminezunebasedeF.

Exercice 5 :SoitE=R4ossee-suahcednuco-ctacspveesD.e´unebasedterminez
riels deE:ntesitauqe´saviussnoefid´learspni
−3x+y+z+t= 0x+3y+2z= 0
xx−+3yy−3+zz++tt00==23xx5++10yy+5+5zz−+tt0==0
x y z−3t= 0y−z+y= 0

Exercice 6 :SoitE=R3elstorisvecapec-ssessuoerel`eidnscoOn.F1 F2 F3deE
engendre´sparF1={(111)(231)}F2={(−211)}etF3={(471)}.
F1etF2(resp.F1etF3no-tlisss)aints?replupme´e

Espaces vectoriels & sous-espaces vectoriels

Exercice 7 :Dans chacun des cas suivants dire siFest un espace vectoriel.
1.F={f:R→R|fest paire}5.F={f:R→R|∀x f(x+π) =f(x)}
2.F={P∈C[X]|d˚P≥3}. 6.F={u∈RN|uest monotone}
3.F={(x y)∈R2|xy= 0}7.F={u∈RN|uest convergente}
4.F={(x y)∈R2|x−y= 2}. 8.F={f:R→R|fest croissante}

1

Semainedu12aoˆut2011

Exercice 8 :edisnocnOerianie´llletneie´erndiffatio´equrel’y′+ 2ety= 0.
`
1. Montrez que l’ensembleS0des solutions est unR-espace vectoriel.
2.De´terminezunefonctiony0:R→Rtelle queS0=Vect(y0).

Exercice 9 :SoitE=R[X] etFle sous-ensemble deEmeˆoynolspde:tnafiire´vs

∃(a b)∈R2 P=aX4+ (a+b)X

Montrez queFest un sous-espace vectoriel et donnnez-en une base.
Exercice 10 :SoitE FetGdesK-espaces vectoriels. On suppose que

E+F=E+G E∩F=E∩GetF⊂G

1. Montrez queF=G.
2.L’hypoth`eseF⊂Ge-estevll?eraissce´etnenimra

Exercice 11 :SoitEunK-espace vectoriel,FetGdeux sous-espaces vectoriels de
E. Montrez queF∪Gest un s.e.v.deEsi et seulement siF⊂GouG⊂F.

iaeremtnscepaess-´eplupssuoS

Exercice 12 :SoitE=R[X]etnˆlyeomsnoce´disnoropnuQ∈Enon nul. Posons

F={P∈E|QdiviseP}

1. Montrez queFest un sous-espace vectoriel deE.
2.D´eterminezunsupplementaireGdeFet donnez-en une base.
´

Exercice 13 :Soitn∈N⋆els-sneesbme`disnocuosselerOne.x´fiEaetEbde l’espace
vectorielE=Kn[X,]fie´dspniar

Ea={P∈K[X]|(X−a)|P}etEb={P∈K[X]|(X−b)|P}

ou`aetbncti.tsissdreaialscuxdetnengise´d
1.D´emontrezqueEaetEbsont des sous-espaces vectoriels deE.
2. Prouvez l’existence d’un couple (c d)∈K2de scalaires tels quec(X−a) +
d(X−b) = 1
3. En deduire queE=Ea+Eb.EaetEbsluspp´lostni-es?ementair
´

Exercice 14 :montrezqD´eeuFetGsont des sous-espaces vectoriels deE
suppl´ementaires,danslescassuivants:
1.E=C1(RR),F={f∈E|f(0) =f′(0) = 0}etG={ax+b; (a b)∈R2}
n
2.EK,F={~x∈E|x1+  +xn= 0}etG=VectK(~u),o`u~u= (1    1).
=

Familles de vecteurs
Exercice 15 :SoitEun espace vectoriel. On suppose que (~~i~kj) est une base de
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
=−i−+ t
E. C~onsid~on´er~s les vecteursu~1=i−2j−3k,~u2j3k,~u3=−2i+ke
u~4=i+ 2j−k.
1. La famille~u1;u~2;u~3;u~4tse-eedriceerat´en´llegE?
2. La famille~u1;~u2;~u3;~u4renetilaenonetrest-ellelibre?sion,n´dtereimenuz
les vecteursu~1;u~2;u3;u4.
~ ~
3. La familleu~1;u~2;u~3 en ce cas, est-ce une base de ?est-elle libreE?

Exercice 16 :SoitE=F(RR).
1. Soit (αk)1≤k≤ntel queα1< α2<  < αniefinleilamaflere`disnocnO.
F=f1     fnnfieide´par:

∀k∈[1 n]]∀x∈R

fk(x) =eαkx

Montrez que la familleFest libre.
2.Onconside`relafamilleF=fα;α∈Rruopeinfituot´edα∈Rpar
fα(x) =eαxerqzomtnafimleluael.D´eFest libre.
Exercice 17 :Soitn∈Nsnossinfie´dtefn:R→Rpar∀x∈R fn(x) = cosnx.
Montrez que la familleF=fn;n∈Nest libre dansF(RR).

Exercice18:Familledepolynˆomese´tag´eeendegr´e
SoitE=K[X].
1. Soitn∈N⋆id`ereunefamille(snocnO.P0 P1     Pnlypoomnˆes)ed
´echelonn´eeendegre´s,i.e.∀k∈[0 n]] d˚Pk=k. Montrez que (Pk)1≤k≤n
est une famille libre deE.
2.Onconside`reunefamille(Pi)i∈I, une famille deEgr´e,ie,g´eeendee´at
∀(i j)∈I2(i6=j)⇒(d˚Pi6=d˚Pj). Montrez que (Pi)i∈Iest une famille
libre.

Exercice 19 :Soita∈Ketn∈N.
1. Montrez que la familleB=1(X−a)    (X−a)nest une base deKn[X].
2. Soitp≤nrdoon´onsdeeee´D.mretzenicselP=Xpdans la baseB.

2

Exercice 20 :SoitE=C∞(RRmifalaree(llnO.)e`disnocfk)k∈N⋆eementsdd’´el
´
Epera´dfiein
∀x∈R fk(x) = sin(kx)
Montrez que (fk)k∈N⋆est libre dansE.

Exercice 21 :Montrez queXn Xn−1(1 +X) Xn−2(1 +X)2    (1 +X)nest une
famille libre deKn[X ?]. Est-ce une base

Exercice 1 —
.

remarquer que

a~b~==x~x~+−y~y~

~
⇐~x
⇒
y

=

=

1~
212((a~~a+−b~b))

Correction

~
ainsi,toutecombinaisonlin´eairede~aet debembinstcolnniiaoserede´iax~ety~et
inversement.N
Exercice 2 .—z~∈Vect(x~~y)si et seulement siil existe (λ )∈R2tel que
z~=λx+~y.Caplrudtitearcesit´edbilipatiacomitnosusyst`emed’´equa
line´aires:
λ−1
λλ2λ−+−22===k2−1+ 2 0==−1−k
⇐⇒= 0
~
Ainsi, pour quez~appartienne au plan vectoriel (x~y~) il faut et il suffit queksoit
´egala`−1.N
Exercice 3 .—1.FetGsont les ensembles de solutions de sysstemes
`
d’e´quationsline´aireshomog`enes.Cesontdoncdessev.
2.F∩Gest l’ensemble des solutions du (SEL)o:
x
2xxx+y−3z+t==00⇐⇒y−36+zz−+2tt0=0=
+2y+3z+t= 06z−t= 0

Cesyst`emeest´echelonne´derang3,ilyaunevariablelibre.Onr´esoutpar
remont´eepourobtenir

F∩G=Vect(3−6−1−6)

N
~ ~
Exercice 4 .—nuevtcuefieinitnoPd´arr~u= (x y z tent`)aarptpiaVect(~b~ad)
  c
s’il ex γ δ)∈4~ ~
iste (α βRtel queu~=α~a+βb+γ~c+δd. Or,

α×~a= (4−53)
~
β×b= (232)
−
γ×~c= (4−1610)
~
δ×d= (81−1)

~ ~
Ainsiu~= (x y z tt`atienppar)aVect(dc~ba~)si et seulement sile systeme
`

(S)

4α+2β+4γ+8δ=x
−5α+3β−16γ+δ=y

des

exercices

estcompatible.Orl’agorithmedeGaussmontrequelesyste`me(Svalentest´equi)
ausyste`meechelonne´
´

−α+5β−12γ+9δ=x+y
(S)⇐⇒?