Exercice N°121: Dérivation
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MPSILyc´eeRabelias
it´e´Dvireliba
D´erivation(I)
Exercice 1 :balitie´ed´dreviD´imentereodamlzsed´deesinontiniefiitnoced,tee´tiun
des fonctions suivantes :
1.x√→7x2−x
2.x7→ln(|x|)
3.x7x
→1 +|x|
4.x7→1 +x4)1−2x
5.c+os√x
x7→1x
6.x7→(x2−rA)1osccx2
7.x7→xsin(1x)
8.x7→x2sin(1x).
9.x7→x1x
10.x7→Arcta1+xn2x
Exercice 2 :tEdueilzbavire´dede´tilinutionaclaet´eitnctilafoonfreius´efindR
par
∀x∈R f(x) =0e1(x2−1)isis||xx≥||<11
Exercice 3 :Soitfefinieparnctiond´alof:f(x) = cosπnl1(−x)x
1.De´terminezledomaineded´efinitiondef’eetuxdiieeztl´ced’stenevtnnue´eul
prolongementparcontinuite´auxbornesdecelui-ci.
2.Etudiezlad´erivabilit´edeceprolongement.
Exercice 4 :Soitf´dfieitnoofcnalur[nies−2+∞[ par
1+2x2x220[
−2 six∈[−
∀x∈[−2+∞[ f(x) =
2(1 +x2) six∈[0+∞[
Montrez quefest de classeC3sur [−2+∞[ mais quefbavire´delst’enisfos4pa
en 0.
D´ i ´ snemesi`
er vee
ezlesd´eriv´eesni` edes fonction
Exercice 5 :Calculems suivantes :
1.x7→ i1 1x7→1−1x2.
1−x,x7→1 +xpu s
2.x7→sinxex,x7→(x2+ 1)ex.
1
3.x7→x2(1 +x)n,x7→xn−1ln(1 +x).
Semainedu12aoˆut2011
Exercice 6 :
1. Montrez que la fonctionfrde´nfieiusRpar :f(x) =e2x
d´erivablesurRzeesdse´teacclluceucivssv´rissee.se
2.De´duisez-enquelafonctiongd:reiape´nfig(x) =xe2x
de´rivablesurRlaucelszse´drevi´eessuccessives.cte
est infiniment
est infiniment
Exercice 7 :Soitfusrlonafioct´endiefinR+⋆par :f(x ln() =xx.)
Onpose´egalementpourtoutentiernaturelnnon nul,hn=nX1k.
k=1
Montrez queftse´dnielusrd´erivabefinimentR+⋆et exprimez pour tout entier
n∈N⋆,f(n)en fonction dehn.
Exercice 8 :Soitf:R→R pard´fi ief(x) =e√3xsinx. Montrez que pour tout
e n
entiern∈N,f(n)(x) = 2ne√3xsin(x+nπ6).
Exercice 9 :Soitf:R→R .la fonction Arctan
1. Montrez quefest de classeC∞surRet que pour tout entiern∈N⋆il existe
unpolynoˆmePntel que :
∀x∈R f(n)(x) = (1P+n(xx2))n
2End´evi`ctionx7→(1 +x2)f′(xd´em),ezontr
.eloppantlad´erive´enemede la fon
la relation –valide pourn≥2 :
(1 +x2)f(n+1)(x) + 2n xf(n)(x) +n(n−1)f(n−1)(x) = 0
3.D´eterminezunerelationentrePn+1,PnetPn−1.
Exercice 10 :Soitn∈N. Montrez que la fonctionfn:R→R´dfieepniar
xnx≥0
∀x∈R fn(x) =+01onisnis
est de classeCnsurR.
ativnioladeerd´citaoisnpAlp
Exercice 11 :
Montrerquepourtoutr´eelxstrictement positif,
1
arctan(x) + arctan =π2
x
Exercice 12 :Soit
limxf(a)−a(f(x)
x→ax−a
f
:
R→Runefonctiond´erilbavnee
a
∈
R.
Etudiez
Exercice 13 :Soitf:I→Cableerivond´nctiuqertzeM.noofenu|f|:I→Rest
d´erivableentoutpointo`ufpasetexps’annulee´ir´veeiremszda.en
Exercice 14 :Soitf:R+→Rune fonction de classeC2telle quef′(0) = 0.
Montrez qu’il existe une fonctiong:R+→Rde classeC1telle que∀x∈R+,
f(x) =g(x2).
´
Etudes de fonctions
Exercice 15 :te´neiduofalitcnonOfdfin´epaier:f(x + 1) =ex1x
1.(a)D´eterminezl’ensembleded´efinitiondef.
(b) Montrez quefalongeablestproniiu´t`eperaoctnR.
(c)De´terminezleslimitesdefuansemel’enesdxboroi.nnfitidee´lbde
2.Etudiezlad´erivabilite´defdte,eive.ete´nimraszere´d
´
Le prolongement defrivable?etsi-dle´
3. (a) Etudiez les variations de la fonctiong:u7→1 + (1 +u)eu.
(b)End´eduirelesvariationsdef.
4. Etudiez les branches infinies def. Montrez que la rep ´ graphique t tion
resen a
def.aniretermnd´eel’oesqutotpmysasedtemda
Tracezlarepre´sentationgraphiquedef.
E
xercice 16 :Soitfcnofalefid´ontiuresniRpar :f(x) = ln(1 +x2).
1.R´eduireledomained’e´tudedef.
2. Etudiez les variations defr´ecetpseuamitiellssizes.neorxb
3.De´terminezune´quivalentdef(x) au voisinage de +∞relaretunanE´ddeiu.
de la branche infinie.
4.Etudiezlaconcavite´defcaetleezullcntue´eveintslspodrnocsoodsse´nee
d’inflexion.
5.Tracezdelarepr´esentationgraphiquedefdonnera les tangentes en 0 et(on
aux points d’inflexion).
2
