Exercice N°115: Structures algébriques fondamentales

MPSILyc´eeRabelias

Structuresalge´briquesfondamentales

Lois de composition interne
Exercice 1 :intnreenpmsotioidansndOnutinfie´ocedioleR2par :
∀(x y)∈R2∀(x′ y′)∈R2(x y)⋆(x′ y′) =xx′ xy′+y

1. Montrez que⋆ociatassesnuede`ssopteevite.treutneneml´´e
2.D´eterminezl’ensembleP´sede´leel.smentssym´etrisab

Exercice 2 :(elpuonOtpniefid´tcourtoux y´le´’d)tsdeemenE=]−11[ :

⋆ x+y
x y += 1xy

1. Montrez que⋆est une l.c.i. associative et commutative.
2.Pr´ecisezsonel´ementneutreetses´ele´mentssyme´trisables.Conclusion?
´
3. Exprimez pour tout entier natureln∈N⋆et pour tout ´l´ ntxdeE,
e eme
x⋆n=x ⋆  ⋆ x +en fonction de (1x)net (1−x)n.

Groupes

Exercice 3 :O´enditfinruoptuotpuoc(elx ytndse´em´’led)eG=R\ {1}:

x ⋆ y=x+y−xy

1. Montrez que⋆est une l.c.i. surG.
2. Montrez que (G ⋆) est un groupe commutatif.
3. Exprimez pour tout entier relatifn∈Z´le´tuottnemeurpoetxdeG, leni`eme
it´ere´dex.

Exercice 4 :SoitGun ensemble non vide muni d’une l.c.i. associative.
Onsupposel’existenced’une´le´mente∈Ge:ifierv´uiq

(1)
(2)

(∀a∈G)ae=a
(∀a∈G) (∃b∈G)ab=

1. Montrez que (∀a∈G) (∃b∈G)ab=ba=e.
2.End´eduireque(G) est un groupe.

Exercice 5 :

e

Semainedu12aoˆut2011

1. Soit (Gu)gnorpueztrepquD´e.onemlpuo(etruoctuoa btsdeemen´el´)d’
G, chacune des equations :
´

(3)
(4)

ax
xa

=b
=b

admet une unique solution.
2.R´eciproquement,soitGest un ensemble non vide muni d’une l.c.i. associative
pourellelaqudenucahctauqe´se)e(3nsioco`a4)t(nsdacieffitsenGadmet
une unique solution.
Montrez que (G) est un groupe.

esupro-gusSo

Exercice 6 : Intersection et union de sous-groupes
Soit (G) un groupe,A Bdeux sous-groupes deG.
1. Montrez queA∩Best un sous-groupe deG.
2. Montrez queA∪Best un sous-groupe deGssiA⊂BouB⊂A.

Exercice 7 : Produit de deux sous-groupes
Soit (G n,ieelb´eauprou)gnHetKdeux sous-groupes deGd´efinit.OnHK=
{hk;h∈H k∈K}.
1. Montrez queHKest un sous-groupe deGnenaoctntHetK.
2. Montrez queHKest le plus petit sous-groupe deGtanenntcoHetK.
Remarque :Lorsque la loi du groupeGntsee´too,+e´enditfinlasomme des
sous-groupesHetKpar

H+K={h+k;h∈H k∈K}

Il s’agit du plus petit sous-groupe de (G+) contenantHetK.

Exercice 8 : Centre d’un groupe
Soit (G u)gnedtrenecenO.epuorltinfie´dGpar

Z(G) ={a∈G| ∀x∈G xa=ax}

Montrez queZ(G) est un sous-groupe deG.

Exercice 9 :Soit (G) un groupe,Hun sous-groupe deGetaeu-lun´el´ementq
conque deG. Montrez quea−1Ha={a−1xa;x∈H}est un sous-groupe de
G.

1

Exercice 10 :
1. Soit (G ) un groupe commutatif de cardinaln∈N⋆. Montrez que

∀a∈G an= 1G
Indication :calculezP=Yxcediind’ntmegeanudhciaeda`’lx′=ax
x∈G
2.De´termineztouslessous-groupesfinisde(C⋆×).

Exercice 11 : Sous-groupes de Z
SoitHune partie deZ. Montrez que

Hest un sous-groupe deZsi et seulement siil existea∈Ztel queH=aZ

Morphismes de groupes
Exercice 12 :Soitn∈N⋆etf:R⋆→R⋆arepniefid´∀x∈R⋆,f(x) =xn. Montrez
quefest un endomorphisme du groupe (R⋆ ).
De´terminezl’imageetlenoyaudef.

Exercice 13 :Montrez que exp :C→C⋆est un morphisme du groupe (C+) dans
le groupe (C⋆ .)ermiD´etenoynezlteuami’l.ega

Exercice 14 :
1.V´erifiezquepourtoutcouple(a b(h)der´eelssa+b) = shachb+ shbcha.
2. Soit⋆la loi d´finie surRpar∀(x y)∈R2 ⋆ y x=xp1 +y2+y√1 +x2.
e
Montrez que (R ⋆) est un groupe.
3. Exprimezx⋆n’aal`eedidx+√1 +x2netx−√1 +x2n

Exercice15:Imagesdirectesetr´eciproquesdesous-groupes
Soient (G ) et (G′ ⋆) deux groupes,H < GetK < G′des sous-groupes deGet
G′respectivement. Soitf:G→G′un morphisme de groupes. Montrez que
1.f(H) est un sous-groupe deG′,
2.f¯1(K) est un sous-groupe deG.

Grsym´ouperietequ
1 2 3 8 9 10 11
Exercice 16 :Soitσ=76542411871512639
1.D´eterminezlenombred’inversionsetlaparit´edeσ.
2.De´composezσen produits de transpositions.
3. D´ mposezσnist.etiudorpnelcycedspoupass`joissdrt
eco

1
102

2

Exercice 17 :utanederD´eterminezlasig
σ1=4321785648352176

σ2=1312

3
2

4
7

5
4

6
8

7
5

86

Exercice 18 :Soitn≥2, etτune transposition deSn.
1. Montrez que l’applicationσ7→τ◦σest une bijection deSndemeˆ.lsnam-iu
2.De´duisez-enlecardinaldel’ensembleAndes permutations paires deSn.

Anneaux et corps
Exercice 19 :usrO´enditfinZ2ets+eet´noe,ompositioninternduelxiodsce⋆
par :
(a b) + (c d) = (a+c b+d) et (a b)⋆(c d) = (ac ad+bc)
1. Montrez que (Z2+ ⋆) est un anneau commutatif.
2. Montrez queA={(a0) ;a∈Z}est un sous-anneau de (Z2+ ⋆).
Exercice 20 :Soitd∈N. On noteZ[√d] ={a+b√d; (a b)∈Z2}. Montrez que
Z[√d] est un sous-anneau deR.
Exercice 21 :Soitd∈Ntel que√d ∈Q. On noteQ[√d] ={a+b√d; (a b)∈Q2}.
Montrez queQ[√d] est un corps.

Exercice 22 : Anneau des entiers de Gauss
On noteZ[i] ={a+ib; (a b)∈Z2}.
1. Montrez queZ[i] est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplica-
tion des nombres complexes.
2.D´eterminezlese´le´mentsinversiblesdeZ[i].

Exercice 23 :Soient (A+×netu)nanneau.Un´el´emxdeAest dit nilpotents’il
existe un entier natureln∈Ntel quexn= 0A.
1. Soit (x y)∈A2. Montrez que six×yest nilpotent, alorsy×xest nilpotent.
2. Soit (x y)∈A2. Montrez que sixetysno´ementsntdeux´eledsoplitnetA
qui commutent alorsx×yetx+ysont nilpotents.
3. Montrez que sixest nilpotent alors 1A−xest inversible et calculez son
inverse.

Correction des

Exercice 1 .—
1. Soit(x y)(x′ y′)∈R2. Clairement (x y)⋆(x′ y′)∈R2.⋆est une loi de

composition interne dansR2.
(a) Soit (x y)(x′ y′)(x′′ y′′) trois couples deR. On a
(x y)⋆(x′ y′)⋆(x′′ y′′) =xx′ xy′+y⋆(x′′ y′′)
=xx′x′′ xx′y′′+xy′+y
(x y)⋆(x′ y′)⋆(x′′ y′′)= (x y)⋆x′x′′ x′y′′+y′
=xx′x′′ xx′y′′+xy′+y

⋆est donc associative.
(b)⋆n’est pas commutative car (22)⋆(11) = (24) tandis que (11)⋆
(22) = (23).
(c)Avecunpeud’habitude,onpeutde´terminerun´eventuele´l´ementneutre
esiamnicimevi,tneaisrnnsosaouonllylesS-nyreapAranth`ese:tuitin
Analyse :supposons que (a burrepo)e´le´tsetuentnem⋆. En ce cas, il
ve´rifiepourtoutcouple(x y)∈R2qe´’itau(nolx y)⋆(a b) = (x y). Par
construction de⋆, ceci se traduit par
(x y)⋆(a b) = (x y)bx+xay==xy⇐⇒(1−a)xxb0=0=

Cecie´tantvalidepourtoutcouple(x y)∈R2, il s’ensuit quee= (a b) =
(10).
Synthe`se:re´vqefiino(1ue