Exercice N°112: Notions de base

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∁∁∁ MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 9 d´ecembre 2011 NOTIONS DE BASE Ensembles f est injective si et seulement si f est surjective. Exercice 1 : Soit E = {a,b,c} un ensemble. Les assertions suivantes ont-elles un Images directes et r´eciproques sens? 1. {a}∈E Exercice 9 : Soient A,B∈P(E) et f :E→F une application. D´emontrez que 1. a∈E 3. a⊂E 1. A⊂B⇒f(A)⊂f(B). 2. ∅⊂E 4. ∅∈E 2. {∅}⊂E 2. f(A∪B) =f(A)∪f(B). Exercice 2 : Soit A et B deux parties d’un ensemble non vide E. D´emontrez que 3. f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). A⊂B ⇐⇒ A∩B =A ⇐⇒ A∪B =B ⇐⇒ B⊂ A. E E Exercice 10 : Soient C,D∈P(F) et f :E→F une application. D´emontrez que 1 1 ¯ ¯ Exercice 3 : Soient A et B des parties d’un ensemble E. D´emontrez que 1. C ⊂D⇒f (C)⊂f (D), 1 1 1 ¯ ¯ ¯ 2. f (C∪D) =f (C)∪f (D), A =B si et seulement si A∪B =A∩B. 1 1 1 ¯ ¯ ¯ 3. f (C∩D) =f (C)∩f (D). Exercice 4 : Soient A,B,C ∈P(E) des parties d’un ensemble E. Exercice 11 : Soit f :E→F une application. Montrez que 1. Exprimez les fonctions indicatrices de A∩B, A et de A\B `a l’aide de 1I et E A 1I . En d´eduire les indicatrices de A∪B et de AΔB = (A\B)∪(B\A). B f est injective si et seulement si pour toutes parties A et B de E, 2. D´emontrez que AΔ(BΔC) = (AΔB)ΔC. f(A∩B) =f(A)∩f(B) 3. D´emontrez que pour toute partieA deE, il existe une unique partieX ∈P(E) telle que AΔX =∅.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

Ensembles

Exercice 1 :SoitE={a b c}un ensemble. Les assertions s
sens ?
1.a∈E3.a⊂E1.{a} ∈E
2.∅ ⊂E4.∅ ∈E2.{∅} ⊂E

NOTIONS DE BASE

uivantes ont-elles un

Exercice 2 :SoitAetBdeux parties d’un ensemble non videE´net.mDozqreue

A⊂B⇐⇒A∩B=A⇐⇒A∪B=B⇐⇒∁EB⊂∁EA

Exercice 3 :SoientAetBdes parties d’un ensembleEtnome´D.euqzer

A=Bsi et seulement siA∪B=A∩B

Exercice 4 :SoientA B C∈P(E) des parties d’un ensembleE.
1.Exprimez les fonctions indicatrices deA∩B,∁EAet deA\Bl’`aedI1iaedAet
1IBiincdesieclaetsrduirdned´eE.A∪Bet deAΔB= (A\B)∪(B\A).
2.Demontrez queAΔ(BΔC) = (AΔB)ΔC.
´
3.D´emontrezquepuotruoetaptreiAdeE, il existe une unique partieX∈P(E)
telle queAΔX=∅.

Applications injectives, surjectives, bijectives

Exercice 5 :SoientE−f→FetF−g→Gdeux applications. On noteh=g◦f.
De´montrezque
1.Sihest surjective etgest injective,alorsfest surjective.
2.Sihest injective etfest surjective,alorsgest injective.

Exercice 6 :Soientf:E→F,g:F→G,h:G→H, trois applications.
D´emontrezquesig◦feth◦gsont bijectives,alorsf gethle sont aussi.

Exercice 7 :Soientf:E→E,g:E→E,h:E→E, trois applications. On
suppose queh◦g◦fetf◦g◦hsont bijectives. Montrez quef gethsont bijectives.

Exercice 8 :Soitf:E→Eptpeaunnaﬁire´vnoitacilf◦f◦f=f. Montrez que :

semainedu9de´cembre2011

fest injectivesi et seulement sifest surjective.

Imagesdirectesetr´eciproques

Exercice 9 :SoientA B∈P(E) etf:E→Fqzereu´e.Dntmocaliontippeaun
1.A⊂B⇒f(A)⊂f(B)
2.f(A∪B) =f(A)∪f(B).
3.f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).
Exercice 10 :SoientC D∈P(F) etf:E→Fertneuqze´omnoD.acitppilunea
1.C⊂D⇒f¯1(C)⊂f¯1(D),
¯1(C∪D) =f¯1(C)∪f¯1(D),
2.f
¯
3.f¯1(C∩D) =f¯1(C)∩f1(D).

Exercice 11 :Soitf:E→Fune application. Montrez que

fest injectivesi et seulement sipour toutes partiesAetBdeE,
f(A∩B) =f(A)∩f(B)

Logique

Exercice 12 :sonsssatierno´nseedtEnadtP,QetRnezelitu´v,ﬁireltsesinaseatlb
dev´erit´e,les´equivalencessuivantes:
1.P et(Q ou R)⇐⇒(P et Q)ou( RP et)
2.non(P⇒Q)⇐⇒ non QP et.

Exercice 13 :Que pensez-vous de l’implication ”lee´rerbmontuortoupx
x <0⇒x < x2nos,agitnae´ecszEnon”?´tr
a con aposee.

∈R,

Exercice 14 :Que pensez-vous de l’implication “5impair⇒3impair” ? Enoncez
san´egation,sacontraposee.
´

Exercice 15 :Soitf:I→Runnoivedrusuntnivaerenllnofeoitce´dneinﬁIde
R.
1.Quantiﬁez les phrases suivantes :

a.la fonctionfs’annule ;
b.fn’est pas une fonction constante,
c.la fonctionf;imumnimnuetnese´rp
d.fprend des valeurs arbitrairement grandes.
Traduisez en francais les assertions suivantes :
¸
a.∃C∈R∀x∈I f(x) =C
b.∀x∈If(x) = 0⇒x= 0
c.∀(x y)∈I2(x≤y)⇒f(x)≤f(y)
d.∀(x y)∈I2 f(x) =f(y)⇒x=y.
De´terminezlesn´egationsdesassertionssuivantes:
a.∀x∈I f(x)6= 0 ;
b.∃M∈R∀x∈I|f(x)| ≤M;
c.∀x∈If(x)>0⇒f(x)≥1;
d.∀(x y)∈I2 f(x) =f(y)⇒x=y.

Strate´giesdede´monstration

Exercice 16 :zquepourMontreplsotifiottu´reeaet tout entier n∈N,
(1 +a)n≥1 +na

Exercice 17 :rieontrD´emettntruopeuozeuqn≥1,n(2n+ 1)(7n est divisible+ 1)
par 6.

Exercice 18 :toutentierrtpasoe´qeeuopruemD´tronpaezonrcm∈N

Exercice 19 :

m2impair
m2pair

⇒mimpair
⇒mpair

Soient (a b)∈R2´.Dzparntreees´e:quntcopora
emo

((∀ε >0)(a < b+ε))⇒a≤b
Exercice 20 :aplra’sbmenortzeD´equdeur√2 est irrationnel.

Exercice 21 :Montrez que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irra-
tionnel est un nombre irrationnel.
Exercice 22 :Soitf:R→Rnuaepplication.D´emontqzerli’usixeedetfouxtincson
g h:R→Rtelles que :
2

gest paire,hest impaire, etf=g+h.

⊲Analyse :Supposons que de telles fonctionsgethexistent.
f(x)
1.rbmontuDolee´reuezqecn´mo´erentptnetruoassemerixf(−x)
2.eduiEnd´exprrel’isseednog(x) et deh(x) en fonction def(x).
⊲yStn`hse:eConclure...

=
=

g(x) +h(x)
g(x)−h(x) .

Exercice 23 :pasedelbmesne’lznemieretD´nsatioplicf:R→Rtelles que

(1)

∀(x y)∈R2 f(x)×f(y)−f(xy) =x+y

⊲Analyse :Supposons qu’une telle fonctionfexiste.
1.nemetDe´omtnecessairrezquen´f(0) = 1.
2.nEedisnoexl’espredd´reuif(x).
⊲yStne:h`esConclure...

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