Exercice Daniel Reisz Auxerre Quel élève n'a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d'écrire f g f g Y a t il des fonctions pour lesquels cette règle est vraie Que peut on en dire Exercice Georges Lion Wallis Soit deux groupes finis G et G et une bijection de G sur G tels que pour tout x G alors x soit de même ordre que x Se peut il que ne soit pas un isomorphisme Solutions Exercice Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint Martin Paris Soit une droite et O un point extérieur la droite On considère un nombre indéterminé de points Ai de tels que les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+1 soient tous de même rayon r Démontrer que quel que soit k les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+k sont tous de même rayon rk
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Exercice 480-3 (Daniel Reisz – Auxerre) Quel élève n'a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d'écrire (f g)? = f ?g? ? Y a-t-il des fonctions pour lesquels cette règle est vraie ? Que peut-on en dire ? Exercice 480-4 (Georges Lion – Wallis) Soit deux groupes finis G et G? et une bijection ? de G sur G? tels que, pour tout x ? G, alors ? (x) soit de même ordre que x. Se peut-il que ? ne soit pas un isomorphisme ? Solutions Exercice 478-1 (Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint-Martin – Paris) Soit (∆) une droite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre indéterminé de points Ai de (∆) tels que les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+1 soient tous de même rayon r. Démontrer que, quel que soit k, les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+k sont tous de même rayon rk. Solution de Raymond Raynaud (Digne) 1) Soit H le projeté de O sur ∆. Posons OH = h. Soit A l'un quelconque des points Ai et A? le point Ai+1. Soit r le rayon du cercle inscrit dans le triangle OAA? et s = h ? r. Désignons par a et a? les angles et Si h et r sont fixés, la donnée de a entraîne celle de a?.
Voir
- rsh rs
- ?pqt4 ?
- triangles oaiai
- rs h1
- rayon du cercle
- ??? ???h
- oi sin
- tan
Exercice 478-1 (Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint-Martin – Paris)
Soit (Δdroite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre) une indéterminé de points Aide (Δ) tels que les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+1 soient tous de même rayonr. Démontrer que, quel que soitk, les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+ksont tous de même rayonrk. Solution de Raymond Raynaud (Digne)
1) Soit H le projeté de O surΔ. Posons OH=h.O Soit A l’un quelconque des points Aiet A′le point Ai+1.aa¢ Soitrle rayon du cercle inscrit dans le triangles OAA′ets=h−r.h · Désignons paraeta′les anglesHOAet · HOA′.Sihetrsont fixés, la donnée der entraîne celle dea′.H Calculons donca′en fonction dea. a a OI+ ′OI sina′ −a. cos2=set2=r rosa+a′=sina′ −a, cs
P
A
I
Q
A¢
2 2 d’où je tire a ′stan+r tana2 . = 2rtana+ s 2 tana2′est l’image de2ntaapar la fonction homographiquef:tat′ =tstr++r(dont s l’hyperbole représentative a son centre sur la deuxième bissectrice).
APMEP no481
Exercices de-ci, de-là
Appei nsx px+q lonsfonct oϕles fonctions du typeaqx+poùpetqsont deux réels strictement positifs. Il est facile de constater que la composée de deux fonctionsϕest une fonctionϕ: f(x)px+fq′(x)=pq′′x++q′′(f′of)(x)=((pppq+′+′qpqq′′))xx++pppq+′+′qqqp′′ Si=et , alors . qx+p x p Donc, sifest une fonctionϕ,f(k)est aussi une fonctionϕpour tout entierk supérieur à 0.
2)A étant toujours l’un quelconque des points Ai, je désigne maintenant par A′ Al e o i n t pi+k,k . 0étant un entier quelconque supérieur à ·· Comme précédemment,ae ta′désignent les anglesHOAe tHOA′.S i j’arrive à démontrer que le rayon du cercle inscrit dans le triangle AOA′ est indépendant dea, l sera résolu. roblème p e Mon arme pour réussir est celle-ci :a′est l’image deapar une fonctionϕ. D’abord,hétant fixé ainsi queae ta′, il faut calculer le rayonrdu cercle inscrit dans le triangle AOA′. En utilisant deux expressions de l’aire du triangle 2S=h2(tana′ −tana), ha a 2S=tan′ −tan+1soca+s1oca′r, on obtient
r=tptq++qp−t1−tpttq++qp. Pour démontrer querest indépendant dea, il suffit de démontrer qu’il en est de même 1 1 + u=cosacosa′ . detana′ −tana Utilisantt=tana2ett′ =tana2′, on obtientu=(t′1−−t)t(21t′+2tt′). Commet′ est l’image detpar une fonctionϕ, il existe deux réelspetqtels quet′ =pt+q. qt+p Dès lors :
pt+q − u1t2((qt1+−tp))pq22tt++pq(=pt+q−(tqt(q+tp+)2p))−t(2qt(p+t−+q)2( + )). = q ptp t pt+q−t qt+p
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Pour chercher et approfondir
Num(u)= −p2t4−2pqt3+2pqt+p2et Dén(u)= −pqt4−2q2t3+2q2t+pq. Etu=p. q inscrit dans le
L’invariance visée est établie. Le rayon du cercle triangle AiOAi+kest indépendant dei.
Exemple : intéressons-nous aux triangles AiOAi+2. · · Si l’on poseA1OA2=aetA1OA3=a′′, ′′2+2tana+2 r s rs tana=2. 22rstana+r2+s2 2 Les coefficientspetqde l’étude précédente sont respectivementr2+s2et 2rs. Le rayon du cercle inscrit dans le triangle AiOAi+2estRhavecr2+s2. =u= 1+u2rs R=h=h2rsh2rs = = . 1+u1+r2+s22rs+r2+s2h 2rs Avec, par exemple comme ici,h=10,4 cm etr=1,2 cm, on trouve R=2,1 cm. O
h
s
r H A1A2A3A4A5 Autres solutions : Jean-Claude Carréga (L yon), Marie-Laure Chaillout (Épinay/Orge), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisan), Pierre Renfer (Ostwald).
APMEP no481
