Devoir Surveillé N°07

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lundi 6 mai 2013

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CONCOURS BLANC DE MATHEMATIQUES

LISEZ-MOI !

dure´edel’´epreuve4heures

Lesujetcouvreunebonnepartieduprogramme!Ilestforce´mentunpeulong(unequa-
rantainedequestions)maislebareˆmeentientcompte!Plusquejamaisilestimportant
deliretoutlesujetavantded´emarreretdede´ciderd’unestrate´gieefficace!

Bon courage ! !

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COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

EXERCICE1:PolynˆomesdeLegendre
Mots-cl´es:familledepolynoˆmes,formuledeLeibniz,the´or`emedeRolle. . . . . .≈5 pt

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PROBLEME1:Alg`brelin´eairedansR2[X]
e
Mots-cles:applicationsline´aires,basesd’unespacevectoriel,calculmatriciel.≈8 pt
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PROBLEME 2 : Analyse
Mots-cle´s:e´tudedefonction,´equationdiffe´rentielle,suitesde´finiesimplicitement,
courbeparame´tr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈10 pt

Nb :L’utilisation descalculatricesestinterdite.

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EXERCICE 1:rendseedeLegoPylˆnmo

PartieI.De´finitionetpremie`respropriete´s
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Soitn∈Ninlt´dfie.nOeneemi`meˆoynolpraperdnegeLed
Ln(X)1=2nXn0kn2(X−1)n−k(X+ 1)k
k=

Explicitezenlesd´eveloppantsuivantlespuissancescroissantesdeXoˆnylopssem,leL0(X),
L1(X),L2(X) etL3(X).
De´terminezunerelationsimpleentreLn(X) etLn(−X).
Pour tout entier naturel non nuln∈N⋆tinfie´dno,omelynˆlepoFn∈R[X] par

Fn(X) = (X2−1)n= (X−1)n(X+

1)n


Exprimez`al’aidedeLnal´drevie´eni`emedeFn(X).
Indication :on pourra utiliser laformule de Leibniz.
CalculezlemonˆomedominantdeLnavelirdu´end.Eesedrueladeuxdeertnffie´nodsafc¸
n2
P kn.
k=0
PartieII.RacinesdespolynoˆmesdeLegendre

Pour tout entier naturel non nuln∈N⋆, on rappelle queFn(X) = (X2−1)net on note
Δpeev´ri´edaspme`ei:
∀p∈[0 n]]Δp(X) =Fn(p)(X)
D´emontrezquesip∈[0 n−1]],X2−1 divise Δp.
Enutilisantplusieursfoisleth´eor`emedeRollea`lafonctionpolynomialeassocie´e,montrez
que pour toutp∈[0 n]], Δps’annule, au moinspfois dans l’intervalle ]−11[.
D´eduisez-enquetouteslesracinesdeLn`tlai’tnreavllesplapetrtpannietnosee´rsellmis,
en e
]−11[.

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PROBLEME 1:iaeradsnRAlg`ebrelin´e2[X]

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Partie I. Etude de deux applications
Ond´esigneparB= (1 X X2) la base canonique deR2[Xacitnosdseltinfiilppaxue´end.O]
suivantes :f:R2[X]→R2[X] etϕ:R2[X]→R
P7→21P2X+PX21+P7→P)˜1(
Ve´rifierquefest un endomorphisme deR2[X].
Montrer queϕnremtfuoeinselai´esurerR2[X].
Determiner une base deIm(f).
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L’applicationfest-elle surjective ? ? injective

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D´eterminerunebasedeKer(ϕ).
L’applicationϕest-elle injective ? surjective ?
Partie II. Calcul des p´euidsesaMnc3e(Rs)d’eutnAe∈maMtr3i(ecR) la matriceA=10111814
On noteI3 0la matrice identit 04142.
Enfin, on noteB′la famille deR2[X]d´enfieiaprB′= (1−2X+ 16X2−6X+ 1).
Justifier que la familleB′est une base deR2[X].
SoitQrladecirtamapeinfie´Q=100−102−166. Montrer queQest inversible et
calculer son inverse.
CalculerM=Q−1×A×Q.

CalculerAnpour tout entiern∈N. On explicitera les neuf coefficients deAn.
HORSBARˆEMEPourn∈NetP=a+bX+cX2, avec (a b c)∈R3etmrnired,e´fn(P)

en fonction dea b c.
1
HORSBAREˆMEEnd´eduireque∀P∈R2[X]nl→i+m∞) =Z0P(˜t)dt.
ϕ(fn(P)

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PROBLEME 2:Analyse
On rappelle que le nombree= exp(1)≈272,√1e≈061,√2≈141 et ln(3)≈110.
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Partie I. Etude d’une fonction

Soitfdreiuse´nfiRpar∀x∈R,f(x) = 3xexp(−x2)−1 = 3xe−x2−1.
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Etudier les variations defsurRorxbsdneitimaues´dedinfiemodueniaqieuells,iasn.tion
Donner le tableau de variations deftaenveticalebruoperese´resrlseci´ePr.dseinfinisehcnarb
Cfdef.
Calculerf′′(xu’end´eduit-onpo)Q.niopelruedtCfd’abscisse 0 ?
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Donnerl’e´quationdelatangenteen0.EtudierlapositiondelacourbeCfapparrport`a
latangenteaupointd’abscisse0.Quelr´esultatretrouve-t-on?
Donner l’allure deCf.
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PartieII.Etuded’une´equationdiffe´rentielle
Soitn∈N⋆. Soit (Enneitleell)tiuaeq’´erff´dion

x y′−(n−2x2)y=n−2x2

On note (Hne.)e´’ltauqhnoiogomne`esoas´eci
R´esoudre(Hn) puis (En) sur ]− ∞0[ et sur ]0+∞[.

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a.
b.
c.
d.

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a.

b.
c.

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Donner toutes les fonctionsfde classeC1surR, solutions de (En) surR. On distinguera
les casn= 1 etn≥2.
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Partie III. Etude de deux suites

3xnexp(−x2)−1 =

Onsupposedanslasuiteduproble`mequen≥2. Soitfn(x) =
3xne−x2−1.
Quel est le signe defn(0), defn(1) ?
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Etudier les variations defnsur l’intervalle [0+∞[ Donner la limite defn(x) quandx
tend vers +∞quree.´dnEiudefns’annule sur [0+∞,noteels´es[xu´rneedunetvntels
que
un<1< vn

Quelle est la limite de la suite (vn)n≥2? Justifier.
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Etude de la limite de la suite(un)n≥2
Calculer exp(−u2n) =e−u2nen fonction deun
n.
End´eduirelesignedefn+1(un).
De´duiredecequipr´ec`edelamonotoniedelasuite(un)n≥2.
Montrer que la suite (un)n≥2est convergente. Soitℓsa limite.
Soitgnuerfiensi]d0´+∞[ par :∀x >0 gn(x) = ln(3) +nln(x)−x2.
Soitt >0. Montrer quegn(t) = 0 si et seulement sifn(t) = 0.
On suppose queℓ6ipr´cequde.Cec`eenuntcoiastnitiloisulcno?n1.Tr=aridoctnurenuoev
Soit (wn)n≥2ld´teuiasfieinpera∀n≥2 wn=un−1.Donnerun´eqaviutnelpmisedelwn
lorsquentend vers +∞.
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PartieIV.Etuded’unecourbeparam´etr´ee

SoitR= (~ı~Opernu)ruebaparioΓtalocnorm´e.Sereorthorpaetm´eer´
`
−−−−→
∀t∈]0+∞[ OM(t) =x(t)~ı+y(t)~`uoxy((tt)=)=tg2−(t)13t=3ln(3) + 2 ln(t)−t2

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Etudier les variations dexetyn.ioitfininaqusieuelsrilimetasxuobnresdudomaineded´e
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Etudier les branches infinies.
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Etudierl’existenced’unetangenteaupointdeparame`tre1.
Tracer l’allure de la courbe Γ.

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Fin du sujet