Devoir Surveillé N°06: Années précédentes

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DEVOIR SURVEILLE N˚06

dure´edel’´epreuve4heures

samedi 10 mars 2012

Lesujetsecomposededeuxprobl`emes,assezth´eoriquesetdedeuxexercicesplusclas-
siques.

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COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

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PROBLEME1:Fonctionsuniforme´mentcontinues
Mots-cl´es:fonctionscontinues,uniform´ementcontinues,lipschitziennes. . . . .≈7 pt

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PROBLEME2:Me´thodedeNewton
Mots-cl´es:fonctionsdeclasseC2sinfistnemccroisse`emedesa,hte´ro. . . . . . . . .≈5 pt

EXERCICE1:Endomorphismesborn´es
Mots-cl´es:´equationfonctionnelle,caract´erisationsse´quentielles. . . . . . . . . . . . . .≈4 pt

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EXERCICE 2 : Etudes locales de fonctions
Mots-cle´s:calculsdelimites,e´quivalents. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈4 pt

Nb :L’utilisation descalculatricesestinterdite.

1

1.
a.
b.

2.

c.

3.
a.
b.

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PROBLEME 1:tinutconemenorm´nufioisnnotcF60PMM,seseni

Dansceproble`me,Iinesuirdn`oerneveidd’ei.nOtnecrotnreavllisnguein´edf:I→R
une fonction.
PartieI.Conse´quencese´quentielledel’uniformecontinuite´

On suppose quef:I→Rnieuadsntuestnoctneme´mrofinI.
Rappelezlad´efinitionquantifi´eedecettepropri´et´e.
Soit (xn)∈IN, (yn)∈INtelles que lim(yn−xn) = 0. Montrez que limf(yn)−f(xn) = 0.
n n
D´eduisez-enquesi(xn)∈INest convergente versx∈R, alors limf(xn+1)−f(xn) = 0.
n
Montrez queg(x1)xeth(x) = sin(1xismannoitcncsnoitnoseunseofnedtinss´dfie)
=
uniform´ementcontinuesdansR+⋆et ]01] respectivement.
Soitf: [0+∞[→Ronefundne´tcoilb.eirav
Sif′esn´eetsbuorrR+, montrez quefm´orifunncdoetne.eunitnoctnemeiznehctiilspets
Si|f′(x)|−−−→+∞, montrez queforifemm´tpesunas.eunctneitno’n
x→∞
PartieII.Fonctionuniform´ementcontinuesurundomaineborn´e

Dans cette partie, on suppose queI= [a b[, aveca < b.
1.Soitf:I→Rune fonction continue surI.
a.Montrez que sif´rojamsaptse’nr[eesua b[, alors pour toutc∈[a b[,feajsm´eor’enpast
sur [c b[.
b.Montrez que sif,elixesimsjaroe´n’estpa(teaniusenuetssiorcetxn)∈INtelle que pour
tout entiern∈N,f(xn+1)−f(xn)≥1. Montrez que (xn) converge versb.
c.uesiDe´udsizee-qnfrosestuniform´ementcontinue,alfsebtro´neeadnsI.
2.On suppose desormais quefdenaitunsorm´uniftconementseI.
´
a.Montrez l’existence d’une suite (xn)∈INconvergente de limitebdont la suite des images
(f(xn)) converge. On noteℓ=nl→i+m∞f(xn).
b.Montrez que pour tout suite (yn)∈INconvergente de limiteb, la suite des images (f(xn)
converge versℓ.
c.D´eduise-zneuqefpaleabngnutionrcnee´tiseptorolb.nolorpeCntesgemeunift-ilmenero´mt
continu sur [a b] ?

2

1.

2.
3.
4.

5.

1.
2.
3.

`
PROBLEME 2:edeNtwno´Mteohed

Soitaetbeer´uxdeeuqsletsla < betf: [a b]→Rune fonction de classeC2sur [a b].
On suppose en outre que :
•f(a)>0 etf(b)<0.
•f′[rusevisesttrictementn´egata b],
•f′′>0 sur [a b],
´
Partie I. Etude d’une fonction

Montrezquel’´equationf(x= 0 admet une unique solution dans ]) a b[, que l’on noteraℓ.

f(
On introduit la fonctiong: [a b]→Rarefid´epni∀x∈[a b],g(x) =x−fx)
′(x.)
Montrez quegest de classeC1dans [a bri´eadzs.eev´e]eluclact
´
Etudiez les variations deg.
Justifiez l’existence d’un couple (m M)r´detpenemctristlseeeuqsletsfitiso

∀x∈[a b]|f′(x)| ≥met|f′′(x)| ≤M

Enappliquantsuccessivementlethe´or`emedesaccroissementsfinis`agtea`flbate´,zessi
l’existenced’unre´elL >0 tel que

∀x∈[a b]|g(x)−ℓ| ≤L|x−ℓ|2

´
Partie II. Etude d’une suite
Soit (un)alustiree´ucrrented´efiniepar••u∀0n=∈aN un+1=g(un)
Montrez que la suite (un)n∈Necrstssoiteanmaeteeapoj´rrℓ.
Montrez que la suite (un)n∈Nconverge versℓ.
`
A l’aide de la questionPartie I.5, montrez qu’il existeK >0 tel que :
∀n∈N|un−ℓ| ≤KaK−ℓ2n

3

1.
2.

a.
b.
c.

3.

a.

b.

c.
4.

1.

2.

1.
2.

3.

EXERCICE 1:robsse´nhproemsiEomndde(R+), petites mines 00
Soitf:R→Rune fonction pour laquelle il existeM∈R+telle que :

• ∀(x y)∈R2 f(x+y) =f(x) +f(y)
• ∀x∈[−11]|f(x)| ≤M

D´emontrezque∀(x y)∈R2 f(x−y) =f(x)−f(y).
D´emontrezsuccessivementque
∀x∈R∀n∈N f(nx) =nf(x).
∀x∈R∀m∈Z f(mx) =mf(x).
∀x∈R∀r∈Q f(rx) =rf(x).
Soitx∈R⋆ee´rnu.lunnonl
1 1
D´emontrezqu’ilexisteunrationnelr∈Q 2tel que|x|≤r≤|x|.
D´emontrezquef(x)≤rM≤2M|x|
De´duisez-enquefest lipschitzienne de rapport 2M.
D´emontrezqu’ilexisteunere´ela∈Rottu´reeltelque,pourx∈R,f(x) =ax.

´
EXERCICE 2:Etudes locales de fonctions

Partie I. Calculs de limites
xl→i+m∞cosl1nxx2
limecxo2s+(xπx−e22)x
x→1

PartieII.Calculsd’e´quivalents

D´etermi´uivalentsimpledex1x−1 au voisinage de +∞.
nez un eq
D´eduisez-enune´quivalentsimpledexx1x−xau voisinage de +∞.
Indication :factorisez parx.
´(xxi(xlnx)2
Etudiez la limite en +∞dex7→h+ 1)x1xx1−x1.
x
−x

4

Fin du sujet