Devoir Surveillé N°06

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DEVOIR SURVEILLE N˚06

dure´edel’´epreuve4heures(pasmoins;-))

samedi 23 mars 2013

Lesujetestplutˆotcourt:ilsecomposedetroisexercicesdontlesthe`messonttre`sbien
connus.Vousdevezliretre`sattentivementletexteetbiensuivrel’enchaıˆnementlogique
desquestions!!Ilestparfoisquestiondepoynˆomes,maishormislanotiondedegr´e,
aucuneconnaissancespe´cifiquesurlespolynˆomesn’estn´ecessaire.Boncourage!!

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COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

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EXERCICE1:Etuded’unesuiter´ecurrente
Mots-cl´es:monotonieetcomportementasymptotiqued’unesuiter´ecurrente. .≈7 pt

´
EXERCICE2:Etudedesracinesd’unesuitedepolynˆomes
Mots-cle´s:suited´efinieimplicitement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈7 pt

EXERCICE3:Polynˆomesde´finisparunerelationder´ecurrence
Mots-cl´es:the´ore`medeRolle,de´riv´eessuccessives,formuledeLeibniz. . . . . . .≈6 pt

Nb :L’utilisation descalculatricesestinterdite.

1

1.
2.

1.

2.

3.

1.

2.

3.

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EXERCICE 1:enteEtedude´rerrucenu’tius

Onconsiderelasuitedenombresre´els(un)n∈N´edrapeinfi
`
•∀•u0n=∈aNaun+∈1R=+⋆un+u2n

Partie I. Convergence de(un)n∈N

Montrez que cette suite est strictement positive et monotone.
Montrez que cette suite est divergente vers +∞.
´
Partie II. Etude d’une suite auxiliaire
Onde´finitlasuite(vn)n∈Npar :∀n∈N vn21=nln(un)
Prouvez que pour tout entiern∈Nvn+1−vn2=n1+1ln1 +u1n
D´eduisez-enquepourtousentiersnaturelspetn:

0< vn+p+1−vn+p≤2n+1p+1ln1 +u1
n
pour obtenir laeuni´et´opriprleelevsr:

Utilisez unpageseoc´tle,
1
∀(n k)∈N20< vn+k+1−vn≤2nln1 +u1
n

Enchoisissant astucieusementnouklaueitsuntmozqred,e´(evn)n∈Nest croissante et
majore´e,puisqu’elleconvergeversunelimitenote´eα.
Partie III. Comportement asymptotique de(un)n∈N

Montrez que :∀n∈N un≤exp(α2n)
Enpassanta`lalimitequandktend vers +∞-pournneotrdmeneacsn’le-dafix´enbtau`
la questionPartie II.2., prouvez que :

∀n∈Nexp(α2n)≤un+ 1

End´eduire,lorsquentend vers +∞,ivqu´el’tlaneun∼+∞exp(α2n)
On poseβn= exp(α2n)−un.
Montrez que la suite (βn)n∈Nellev´erifielarelaetitosnosbunirvea´neteeqt’u

2βn−1 = (βn+1+βn2−βn) exp(−α2n)

Prouvez enfin que lorsquentend vers +∞

2

un=−21+ exp(α2n) +o+∞(1)

1.

2.

3.

4.

1.

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3.

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5.

´
EXERCICE 2:Etude des racines d’une suite de polynomes
ˆ
Onconside`repourtoutentiernaturelnonnuln∈N⋆la fonction polynomiale
[0+∞[→Rtoufie´dpeintruox∈[0; +∞[ par

Pn(x) =2Xn(−1)kxkx22nx2n−−1+1x22nn
k=−x+2− ∙ ∙ ∙ −
k=1

Pn

:

´
Partie I. Etude des fonctions polynomialesPn
Montrez que pour tout entiern∈N⋆leeruottu´rteopx∈[0; +∞[,Pn′(x) =xx2n+−.11
D´eduisez-en,pourtoutn∈N⋆, les variations dePn +sur [0;∞[ et dressez le tableau de
variations dePn.
Montrez que pour tout entiern∈N⋆leoutpe´etrourtx∈[0; +∞[,
Pn+1(x) =Pn(x) +x2n+1−2n1+21+nx+ 2
D´eduisez-enquepourtoutentiernaturelnonnuln∈N⋆,Pn(1)<0 etPn(2)≥0.
Montrez que pour tout entier naturel non nuln∈N⋆e´’lotiaunq,Pn(x) = 0 admet une
unique solution dans [1; +∞ee´ton,[xnv´uiqe1ifier< xn≤2
´
Partie II. Etude de la suite(xn)n∈N⋆
Justifiez pour tout entiern∈N⋆leer´uttourpoetx∈[0; +∞t´eilage´’l,[Pn(x) =
Z0xt2tn+−11dt
−
De´duisez-enquepourtoutentiernatureln∈N⋆,Z1xnt2n1dt=Z011t−+t12ndt
t+ 1
De´montrezquepourtoutentiernatureln∈N⋆etruoptuoeltr´et∈[1; +∞[,t2n−1≥
n(t2−1)

End´eduirequepourtoutentiernatureln∈N⋆:
Z1xnt2tn+−11dt≥n(2xn−1)2puis 0< xn

Conclurequanta`laconvergencedelasuite(xn)n∈N

3

.
⋆

−1≤√2√ln 2

n

1.

2.

1.

2.

1.
2.

3.

4.

EXERCICE 3:urecncreeolPynˆomesd´efinispaureneralitnoed´r

PartieI.Ge´ne´ralisationsduTh´eor`emedeRolle

Soita∈Retϕ: [a+∞[→Rune fonction continue dans [a+∞dale]nsre´dbavi,[a+∞[
telle quexl→i+m∞ϕ(x) =ϕ(aetudiant).En´noitcnofalψ (: [tha)+∞[→Repniefid´ra

∀t≥th (a) ψ(t) =ϕ(Argth (t))

d´ ntrez qu’il existec∈]a+∞[ tel queϕ′(c) = 0.
emo
Nb :nofenurunoitcgulonatapoeulieartqa’unu´rseluatonadmetϕ´dedanefinisun
voisinage de−∞.
Soitϕ:R→Roidnnotcnufelequetelvabl´erimileϕ(x lim) =x= 0. Montrez
x→+∞x→−∞ϕ( )
qu’il existec∈Rtel queϕ′(c) = 0.

PartieII.De´rive´essuccessivesd’unefonction
Soitf:R→Rarepniofcnal´dfieitno∀x∈R f(x+1(1)=x2)14.
Montrez quefestind´enfiminedte´iravlbanedsRet que pour tout entier natureln∈N,
ilexisteunpolynoˆmePntel que∀x∈R f(n)(x + (1) =Pxn2()xn)+14.
Justifiez que pour tout entier natureln∈N,

∀x∈R Pn+1(x) = (1 +x2)Pn′(x)−(2n2)+1x Pn(x)

etde´duisez-enquePngr´ededetsen.
PartieIII.Relationdere´currence

D´eterminezunee´quationdiff´erentielledupremierordredontfest solution.
A l’aide de laFormule de Leibnizque pour tout entier naturel non nul, montrez n∈N⋆
etpourtoutre´elx∈R, on a :

Pn+1(x) + (2n2)+1xPn(x) +n(n−2)(1+1x2)Pn−1(x) = 0

Montrez que pour tout entier naturel non nuln∈N⋆eelutr´urtoetpox∈R, on a :

P′(x) =−n(n−2)1Pn−1(x)
n

Montrez que pour tout entier natureln∈N⋆,Pnadmetncanise´reellseidstinctes.r

4

Fin du sujet