Devoir Surveillé N°05: Années précédentes

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LISEZ-MOI !

´
DEVOIR SURVEILLE N˚05

dureedel’e´preuve4heures
´

samedi4fe´vrier2012

Lesujetestdedifficult´eetdelongueurraisonnable:ilsecomposede2probl`emeset2
exercices.
Vousferezbienattentiona`laconstructiondevosraisonnements.Pourchaquethe´ore`me
vousutiliserez,v´rifiezleshypoth`eses,citerlenomduthe´ore`meete´noncezsesconclu-
que e
sions.Pourlesde´monstrationsenεr`ztriesusvorese,riables.iondesvarualegtsogruuesx
Bref, soyez

´
CONCIS = (COURT et PRECIS) !

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

` ´
PROBLEME 1 : Equation de PELL-FERMAT
Mots-cle´s:lci,groupe,it´er´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈7 pt

`
PROBLEME2:MoyennedeCe´saro
Mots-cle´s:suitesconvergentes,thmdeC´esaro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈7 pt

EXERCICE1:Th´eor`emedepointfixe
Mots-cle´s:bornessupe´rieure,dichotomie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈4 pt

EXERCICE2:Une´equationdiophantienne
Mots-cle´s:sontdansletitre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈2 pt

Nb :L’utilisation descalculatricesestinterdite.

1

1.
2.
3.
4.

1.

2.
3.

1.
2.

3.
4.

` ´
PROBLEME 1:Equation de PELL-FERMAT
SoitG={(a b)∈N×Z|a2−2b2= 1}oitinocedsopmunitoielnd.Ofin´e×surGpar

∀((a b)(c d))∈G×G

´
Partie I. Etude de(G×)

(a b)×(c d) = (ac+ 2bd ad+bc)

V´erifiezque×est une loi de composition interne dansG.
Montrez que× ?est associative. Est-elle commutative
Montrez que×ospneueds`spr´evouerez.ecisemtnlee´eruqentu
´
D´eduisezdesquestionspre´c´edentesque(G×st)e.neile´baepuorgnu
´
PartieII.Etudedesit´ere´sdex0

On notex0= (32On).refiieuqtuepre´vx0e´´letsdtemeneG. On adopte les notations
usuelles pour les puissances successives dans un groupe multiplicatif. Pourn∈N, on note
(an bn)∈N×Zles entiers tels quexn0= (an bn). Autrement dit,

(32)n= (32)× ∙ ∙ ∙ ×(32) = (an bn)
{ }
n f ois

1= 3an+ 4bn
Montrez quea0= 1,b0= 0 et que∀n∈Nbann+1+= 2an+ 3bn.
Montrez que pour tout entiern∈N, on a 0≤bn< an.
D´eduisez-enque5bn< bn+1puis que la suite (bn)n∈Nest strictement croissante, de limite
+∞.
PartieIII.R´esolutiondel’e´quationdePell-Fermat

Soit (a b)∈Gtel que 0< b.
Justifiez l’existence d’un entiern∈N⋆tel quebn≤b < bn+1.
De´duisez-enque0≤ban−abn< bn+1anan+1bn= 2.
−
Indication :vous pourrez remarquer (en justifiant) que
2
bann+1+1ba2−2≤bann2−2
−2<

Montrez alors que (a b)×(32)−n= (10). Que vaut (a b) ?
Quels sont les entiers positifsaetbtels quea2−2b2= 1 ?

2

1.

2.

3.

4.

1.

2.

1.a.
b.

2.a.

b.

c.

`
PROBLEME 2:esaroennedeC´yoM
Soitu= (un)n∈N⋆el´eerbromeneditaleicossaiulnO.sesuituenusdes moyennes(vn)n∈N⋆
determeg´´eralvn=u1+u2+∙ ∙ ∙+unbuLeuptdorlbe`emsedt´’teablirle
en
n

Th´eor`eme—ConvergenceenmoyennedeCe´saro
Soitu∈RNetvsaomeyeC´ennedsaro,ℓ∈R. Alors

Siuest convergente versℓlarooraesC´deneenoyamssvconverge versℓ.

PartieI.D´emonstrationsduth´eoremedeCesaro
` ´
te uestiun= 0. Prouvez en ce cas que limvn= 0
On suppose dans cet q on quenl→i+m∞n→+∞

Soitℓ∈R lim. On suppose queun=ℓ`iquretieseltnse´ratluledt.Enuti,liosna
a prem e
n→+∞
montrez que limvn=ℓ.
n→+∞
Onaainsid´emontre´letroe´asdeCe`rme´hoeeunexemplprciueoq.L´earod:ezennftsessua
o`u(vn) converge mais (un) diverge.
´
Etudiez,parunem´ethodeanalogue`alapremi`erequestionle`stesuite
cas ouue un
divergente vers +∞.
PartieII.Applicationsduth´eor`dC´esaro
eme e
elle que : lim (an−a1
Soit (an) une suite tn→+∞n−) =ℓ,o`uℓ∈R.
Montrez que liman=ℓ.

n→+∞n
Soit (bn)n∈N⋆tiusenumeerate`teictrsstifsetmentposiℓ >0 tels quenl→i+m∞bbn+n1=ℓ.
De´montrezquelimnbn=ℓ.
n→+∞
Remarque :Erneorsea`tsCo(Naples 1859-1906) a introduit cette notion de conver-
genceenmoyennevers1880parall`element`adeuxautresgrandsmathe´maticiensrdeol¨H
OttoundFrobenius Georg.

PartieIII.D´eveloppementasymptotiqued’unesuite
1
ni = et la r
Soit (un)n∈N⋆perauited´efilasu12nioatel∀n∈N⋆ un+1=un−un2.
Montrez que (un)n∈N⋆tinreeefisvitaes´ceorts´de∀n∈N⋆,un∈]01[.
D´eduisez-enque(un)n∈N⋆si´dtereimenszlaimite.veontcesputeenrg
´⋆d1
Etudiezlaconvergenceetlalimitedelasuitede´finiepar∀n∈N= .
,n1−un
Ve´rifiezque∀n∈N⋆1,−=1dn.
un+1un
` 1
∼
Al’aided’unt´elescopage,montrezquelim+nun= 1 On notera cette relationun.
n→ ∞n

3

1.
2.
a.

b.

c.

1.

2.

3.

EXERCICE 1:eePointfixoe`rmedeT´h

Lebutdel’exerciceestdede´montrer,dedeuxmani`eresdiff´erentes,lere´sultatsuivant:
Th´eor`eme—Pointfixe
Soitf: [a b]→[a bnmoetnctoniocnntorrisviiaalsdtendee´nfieiusu]rusnnegfeR(i.e.
a < b).

Il existec∈[a b], tel quef(c) =c

`
PartieI.Al’aidedelaproprie´te´delabornesup´erieure

SoitA={x∈[a b]|f(x)≥x}
Montrez queAno’letonrueieuqesuneerp´unetorebamdrac.
On va montrer par l’absurde quef(c)c.
=
On suppose dans cette question quef(c)> co,anobtutia`nuenoM.eztredquscanasec
contradiction puisquecne serait pas un majorant deA.
On suppose dans cette question quef(c)< c. Montrez que dans ce cas, on aboutit aussi
`aunecontradictionpuisquecne serait pas le plus petit majorant deA.
Concluez.
`
Partie II. A l’aide d’une dichotomie

Construisezparr´ecurrencedeuxsuites(an), (bnoutentiersletllseuqpeuotreer´de)n∈N,
•a0 ≤ ∙ ∙≤ ∙an< bn ≤ ∙ ∙≤ ∙b0
(Cn)•bn−an=b0−a0
2n
•f(an)≥an,f(bn)≤bn.
Montrez que les suites (an) et (bntoreaimetO.nnemˆemelientesetdgrevnoctnos)cleur
limite commune.
Montrez quef(c) =c.

EXERCICE 2:enUioatqu´eanphiondenitne
R´esoudredansZ2poidtnahnnei891el’´tionequax+ 216y= 36

4

Fin du sujet