Devoir Surveillé N°05

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DEVOIR SURVEILLE N˚05

dure´edel’e´preuve4heures(pasmoins;-))

samedi9fe´vrier2013

Lesujetsecomposededeuxproble`messurlessuitesnum´eriquesetd’unexercicecalcu-
latoiresurleslimitesete´quivalentsdefonctions.Lesquestionssonttre`sclassiquesdonc
vouslisezbienlesujetenentier,rep´erezlesquestionsquevoussaveztraiteretd´emarrez
parcelles-la`!Boncourage!!

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

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PROBLEME 1 : Sommes et produits infinis convergents
Mots-cle´s:suitesconvergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈8 pt

`
PROBLEME2:C´esaro’sthmandapplications
Mots-cle´s:th´eor`emedeconvergenceenmoyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈7 pt

´
EXERCICE 1 : Etudes locales de fonctions
Mots-cl´es:limite,e´quivalentsdefonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈5 pt

Nb :L’utilisation descalculatricesestinterdite.

1

`
PROBLEME 1:Sommes et produits infinis convergents

Soit (un)n∈N⋆suitielassocluia(euiesdeteunlunnno,see´ronslpn)n∈N⋆nfieide´r:pa
n
∀n∈N⋆ pn=Yuk=u1×    ×un
k=1

PartieI.Uneconditionn´ecessairedeconvergence
1.On suppose que le suite (pn)n∈N⋆est convergente vers une limite non nulleℓ∈R⋆. En
consid´erantlequotientppn+n1, montrez que la suite (un)n∈N⋆est convergente de limite 1.
2.Dans cette question, on suppose que∀n∈N⋆,un . Etudiez la convergence de + 1= 1
n
(pn)n∈N⋆.
3.Dans cette question, on suppose que∀n∈N⋆,un= cos(a2nu`),oa∈RπZele´rnutse
fix´
e.
a.Calculez pour tout entier naturel non nuln∈N⋆sin(a2n)×pn.
b.De(itsueuale-qnsizee´udpn)n∈N⋆est convergente et donnez sa limite.
Partie II. Utilisation d’une pre i`re suite auxiliaire
m e

1.Soit (un)n∈N⋆ledetneg.1etimienusu´eeliternverleco
a.Montrez qu’il existe un entiern0∈N⋆tel que∀n∈N,n≥n0⇒un>0.
n
b.Oe´dntinfiurpouttotienern∈N,n≥n0,Sn=Xln(uk). Montrez que
k=n0
si(Sn)n≥n0admet une limite (finie ou infinie)alors(pn)n∈N⋆admet aussi une limite.

2.

a.

b.

1.

a.
b.

2.

Pr´ecisezlesliensentreleslimitesde(Sn)n∈N⋆et de (pn)n∈N⋆.
Application :
Dans cette question, on suppose que∀n∈N⋆,un=nn.
Justifiez que∀k∈N k≥3Zk+1ln(x)dx≤ln(k)
kx k.
D´eduisez-enlecomportementdessuites(Sn) et (pn) lorsquentend vers +∞.
Partie III. Utilisation d’une autre suite auxiliaire
On suppose que∀n∈N⋆,un= 1 +vno,`u(vn)n∈N⋆estunelee´stiusredestrictement
n
positifsetconvergentede limite 0. On note pour tout entiern∈N⋆,Tn=Xvk
k=1
+⋆

Montrez que∀x∈Rln(1 +x)< x.
Montrez que si la suite (Tn)semtjaroe´,e
gentes.
Application :

alors les suites (Tn), (Sn) et (pn) sont conver-

n
Dans cette question, on suppose que∀n∈N⋆ pn=Y 1 +a2ko,u`a∈]0stfix´e.1[e
k=1

2

a.
b.

1.

2.

3.

4.

1.

2.

1.

Montrez que la suite (pn)n∈N⋆est convergente.
Pour tout entier naturel non nuln∈N⋆, calculez (1−a2)pn
suite (pn)n∈N.
⋆

etde´duisez-enlalimitedela

`
PROBLEME 2:enneMoyo`sraedeC
Soitu= (un)n∈N⋆ielasuitluiassocesuneeditulee´nO.smonererbdes moyennes(vn)n∈N⋆
determege´n´eral
u1+u2+  +un
vn=
n
Lebutduprobl`emeestd’´etabliretd’utiliserle

The´ore`me—.ConvergenceenmoyennedeCes`aro
Soitu∈RNetvsamyoneenedeCs`aro,ℓ∈R. Alors

Siuest convergente versℓCesenndea`orloasarsyemovconverge versℓ.

PartieI.Demonstrationsduth´eor`emedeC´esaro
´

On suppose dans cette question que limun0. Prouvez en ce cas que lim= vn= 0.
n→+∞n→+∞
Soitℓ∈R. On suppose que limun=ℓ´reltnasilitunE.`ti,lusedtatpaleimer
ere ques on
n→+∞
montrez que limvn=ℓ.
n→+∞
Onaainsid´emontre´leeseCedemro`a`roe´htdonnsse:exemezunrpqoe´icftuaeusear.Lepl
o`u(vn) converge mais (un) diverge.
´
Etudiez,paruneme´thodeanaloguea`lapremi`erequestionlecasou`uest une suite
divergente vers +∞.

PartieII.Applicationsduth´eor`emedeconvergenceenmoyennedeCesa`ro

Soit (an li) une suite telle que :+m∞(an−an−1) =ℓo,u`ℓ∈R.
n→
Montrez que l→i+m∞an=ℓ.
nn
Soit (bn`etaustiu)enntmeteictrssmeertesfitisopℓ >0 tels quenli+m∞bnb+n1=ℓ.
→
D´emontrezquelimnbn=ℓ.
n→+∞
Remarque :enorErCao`tsse(Naples 1859-1906) a introduit cette notion de conver-
genceenmoyennevers1880paralle`lementa`deuxautresgrandsmathe´maticiensH¨olrde
OttoundFrobenius Georg.

PartieIII.D´eveloppementasymptotiqued’unesuite
Soit (un)n∈N⋆fie´dpeinsaletiuaru1t=12e∀n∈N⋆ un+1=un−un2.
Montrez que (un)n∈N⋆lasztimireteenime.egente.D´stconver

3

2.

1.

2.

1.
2.

3.

On note (vn)n∈N⋆alustidee´nfieiaprvn=1−1un. Etudiez la convergence de (vn)n∈N
d´edui
sez-en que
limnu= 1

On notera cette relationun

1
.
∼
n

n
n→+∞

´
EXERCICE 1:Etudes locales de fonctions

Partie I. Calculs de limites
2
xl→i+m∞cosln1xx
limecxo2s+(xπ−ex22)x
x→1

PartieII.Calculsd’´equivalents

D´eterminezune´quivalentsimpledex1x−1 au voisinage de +∞.
De´duisez-enun´equivalentsimpledexx1x−xau voisinage de +∞.
Indication :factorisez parx.
−xx1(xlnx)2
´Etudiezlalimiteen+∞dex7→h(x+ 1)x1x1xi
.
x−x

4

⋆et

Fin du sujet