Devoir Surveillé N°04: Années précédentes

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DEVOIR SURVEILLE N˚04

dureedel’´epreuve4heures
´

samedi 7 janvier 2012

Lesujetestassezlong:ilsecomposede2proble`meset2exercices.Lesdeuxexercices
sonttr`lassiques:vousdevezviserunbonrendementsurcesexos.Pourleprobl`eme1
es c
`
etl’exercice1,vousferezTRESattentiona`bienconstruirevosraisonnements.

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

`
PROBLEME 1 : Chemins monotones
Mots-cl´es:De´nombrementclassique,coefficientsdubinoˆme. . . . . . . . . . . . . . . . . .≈7 pt

`
PROBLEME2:Sphe`resetdroitesdel’espace,d’apr`esENSTIM2009
Mots-cle´s:G´eome´triedansl’espace,sph`eresdroites,coniques. . . . . . . . . . . . . . . .≈5 pt

EXERCICE 1 : Compositions d’applications
Mots-cl´es:injectivit´jectivit´e,bijectivit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈4 pt
e, sur

EXERCICE 2 : Courbes planes
Mots-cl´es:Courbeenpolaire,courbe

alg´ebriquededeg´e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈4 pt
r

Nb :L’utilisation descalculatricesestnietdrtie.

1

1.
a.
b.

c.

d.

2.

3.

4.

a.

`
PROBLEME 1:Chemins monotones
Danstoutleproble`me,n∈N⋆elsnaD.e´xfitselpnaarppro´t`euanrep`ereorthonore´m
(ı~O~egoclialute´snitde()cno,sionerd`nqeudruan+ 1)2points :En=[0 n]]2. On note
Ale pointrrid´eeuiutprso´nno(seeec,drdoon n),voyez la figure ci-dessous.
Unpointmobilesed´eplacesurle quadrillage en4
reliantOntnpoi`auMde ce quadrillage, de coor-
donne´esenti`res(x y).
e
Lepointmobileestcontraintdesed´eplacerapas
`
de longueur 1, soit vers la droite, soit vers le haut.
Untelparcoursestappel´eunchemin monotone.
Lafigureci-contrerepre´senteuntelchemindeO
`aM(34).
1 2 3 4

3

2

1

0
0

Notation :eptlblroandoustevuotnememe`mnu,tirotenomonibeludomrraˆ,poud´ecetre
commeunesuccessionded´eplacementse´l´ementaires,not´esH lacement verspour un d´
ep
le Haut ouDoupndru.etiorDaslertvenemacpl´e
´
Etude d’un exemple
Dessinez un chemin monotone de l’origineOau pointMceddroo6onn´ees(6).
Dansuncheminmonotonereliantl’origineaupointdecoordonne´es(66), combien le
pointmobileeffectue-t-ildede´placements?
Dansuncheminmonotonereliantl’origineaupointdecoordonn´ees(66), combien le
pointmobileeffectue-t-ilded´eplacementsverslehaut?versladroite?
Ende´duirelenombredecheminsmonotonesdel’origineOaupointdee´n6(soocenodr6).
Vousexprimerezlere´sultata`l’aidedecoefficientdubinoˆme
Soit 0≤p≤n. Combien existe-t-il de chemins monotones reliant l’origine au pointMde
coordonne´es(n−p p) ?
En remarquant que le premier pas d’un chemin monotone de l’origine au point (n−p p)
sefaitsoitverslehaut,soitversladroite,d´emontrezlaformule de Pascal
np=pn−−11+np−1

Reprenezl’exempleend´ebutdepartie.Tracezsurcegraphiqueladroite(Δ)d’e´quation
y= 6−x.
Tout chemin monotone reliantOuaopnidtceoodrn´ons(ee6e´nesseceriatnem6)upco
(Δ).
Demanie`rege´n´eraletoutcheminreliantl’origineaupointAorcode(odnne´sen n) coupe
ladroite(Δ)d’e´quationx+y=n. Soitk∈[0 n]], on noteBkle point de (Δ) d’abscisse
k.
Pr´ecisezl’ordonn´eedeBkC.neaymoibnejusqu’`a-i-tecldmihemonsotondseno’leigir
Bk?

2

b.
c.
5.

1.

2.a.

b.
c.

3.

4.

5.
6.

7.

Combien existe-t-il de chemins deBkqs’uuj`aA?
Ende´duirelenombredecheminsmonotonesdel’origine`aAqui passent parBk.
D´eduisezdecequipre´c`edelaformule de Van der Monde:
k=nX0kn2=2nn

` ´
PROBLEME 2:rdedetiosesetd’unefamillefemalieledps`hreEund’detu
~
L’espacegeometriqueusuelestrapporte´`aunRONDR= (~ı~Okutr´urto).Poeel
´ ´
m∈Rblemeelerns’eis`dcnnoo,Smdsienneacnoe´trqe´’itau

x2+y2+z2−2mz2 +m2−2 = 0

On noteEe´ircave’le´afitnionquat’lelbmesnentoispdesp’eelsd

x2+y2=z2+ 2

(Sm)

(E)

Enfin, on notePnplled’anqu´eioaty0=c,e’ts`--aidreleplan(xOz).
D´emontrezquepourtoutr´eelm∈R,Smutsepsenre`hnodeoutv´esdrmteerinectnzeeler
et le rayon.
Montrez que l’intersection dePet deEest une coniqueGreontvousp,dzealanut´rcesire
etlesasymptotese´ventuelles.
Dans le planPrepr,einuqaloctnzee´esG.
Donnezl’excentricite´etlescoordonn´eesdu(des)foyer(s)delaconiqueGereadsneler`p
R.
Pour toutθ∈R(teoie´dno,rdaltinfiDθscartioniennt´es`tmesrsyqeaude´’)outpanayes
xy−−zz(nsi(scoθθ)==)−√2s(2cnoiθs()θ()Dθ)

Pourtoutr´eelθd,e´etiteadrordeluetceridruetcevntuteinpounezinrmDθ).
Vouschoisirezunvecteurdirecteurdontlatroisi`emecoordonne´eeste´gale`a1
Soientmetθduerxe´leqseuclonques.ProuvezqudaletioreDθeeattsenng`atesplaerh`
Sm.
Montrez que pour toutθ∈R, la droiteDθest incluse dansE.
Re´ciproquement,montrezquesiMest un point de l’ensembleEcode(seodroe´nnx y z)
danslerepe`reR, alors il existeθ∈Rtel queMladrne`aoiteaitneppraDθ.
Quepouvez-vousd´eduiredesquestionspr´ece´dentes?

3

1.
2.
3.
4.

1.
a.
b.
2.
a.
b.

EXERCICE 1:Compositions d’applications

Partie I. Questions de cours

Soitf:E→F g:F→Gdeux applications
Montrez que sifetgsont injectives, alorsg◦fest injective.
Montrez que sifetgsont surjectives, alorsg◦fest surjective.
Montrez que sig◦fest injective, alorsfest injective.
Montrez que sig◦fest surjective, alorsgest surjective.
Partie II. Applications idempotentes

Soitf:E→Eune application telle quef◦f=idE
Montrez quefest injective si et seulement sif=idE.
Montrez quefest surjective si et seulement sif=idE.
Soitf:E→Eune application telle quef◦f◦f=idE
Montrez quefest injective si et seulement sifest bijective.
Montrez quefest surjective si et seulement sifest bijective.

EXERCICE 2:Courbes dans le plan

´
1.debrqe´’lzetuocar´epenesieudtrzetEelaironpouatiρ(θ(sni(n3=)isθθ))
´d’e´quationcart´esienne2x2+ 3xy+y2
2.euqinocalzetneser´eptrzeieudEt

4

= 1.

Fin du sujet