Devoir Surveillé N°03: Années précédentes

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DEVOIR SURVEILLE N˚03

dur´eedel’´epreuve4heures

samedi3de´cembre2011

Lesujetsecomposede6exercicestr`esclassiquesettre`sd´etaille´s.Lisezbienlesujeten
entieravantdechoisirunordredepre´fe´rence.Vousd´ebutezparcequevoussavezle
mieux faire !

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

EXERCICE 1 : Lignes de niveau
Mots-cl´es:Produitscalaire,d´eterminantenBOND,e´quationscart´esiennes. . .≈4 pt

EXERCICE2:G´eome´trieplane
Mots-cl´es:racined’unee´quationpolynomiale,trigo,´equationnormale. . . . . . .≈4 pt

´
EXERCICE3:Etuded’unecourbeplaneparame´tr´ee
Mots-cl´es:encoordonne´escat´siennes. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈3 pt
r e

EXERCICE4:EDLd’ordre2a`coefficientsconstants
Mots-cle´s:Probl`emedeCauchy. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈3 pt

EXERCICE5:EDLd’ordre2`acoefficientsnonconstants
Mots-cl´es:Changementdefonctioninconnue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈4 pt

´
EXERCICE6:Equationint´egrale
Mots-cle´s:e´quationdiff´erentielleline´aired’ordre1. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈3 pt

Nb :L’utilisation desturesradvoidne´seoic-moamesttentidier.

1

1.

2.

3.
a.

b.

1.

2.

3.

EXERCICE 1:Lignes de niveau
Le planPtseDe`aunRONrapport´R= (~Oı~).
Soit~uαβun vecteur non nul,Abaun point du plan etλun.l´ree
De´terminezunee´quationcarte´siennedel’ensembledespointsMuplanv´erifiantd
(A−M|→~u) =λ

Pre´cisezlanaturedecetensemble.
Soit~uαβun vecteur non nul,Abaun point du plan etλ´reenul.
De´terminezunee´quationcarte´siennedel’ensembledespointsMyxfiarintlaup´envd
−
Det(AM→u~) =λ

Precisez la nature de cet ensemble.
´
SoitA B Ctniopsiorlinanotsupsd´egnalentλnu´ree.l
D´eterminezl’ensembledespointsMdlaup´envfiarint

2M A2+ 3M B2−4M C2=λ

De´terminezl’ensembledespointsMtnirafivne´puald

2M A2+ 3M B2−5M C2=λ

EXERCICE 2:oe´Gte´mrieplane
Le planP´t`euaRntsarpproDNOeR= (O~ı~).
D´emontrezpourtoutθ∈i−π;22πhn±π6ola relation :

3
n 3θtanat3θn−2θ3−1tnaθ
ta =

Soitλ∈R⋆elnonnul.R´esolveuzdpannrsamae`rtree´Rnol’´equati

t3−3t+λ(1−3t2) = 0

On noterat1 t2ett3les racines distinctes de (1).
Indication: on pourra posert= tan(θ) etλ= tan(α).
Onconsid`erepourk∈ {123}les droitesDkoitasn’duqe´

t2kx+tky+a= 0

`ua∈R
o
D´eterminezunee´quationnormaledeD1D2etD3.

2

(1)

4.

1.

2.

3.
4.

D´eduisez-enqueleslesdroitesD1D2etD3e´ar.le´uqlitatrianglfeormentun

´
EXERCICE 3:eeetr´ram´alpeapencenubruotuEd’de
Le planPest rapporte a un RONDR= (~~ıO).
´ `
Onconside`rel’arcplanparam´etre´par
xyoc==sins22((tt((sni)sco)tt))

Domainedede´finition,re´ductiondel’intervalled’e´tude:
Enutilisantlessyme´triesdexetyou,vonsm´’leduterertuqzererestreepeutˆetnieta`

[0π4].
´
Etudedesvariationssimultane´essur[0 π4] :

´
•ofseitcncsnodroon´ons.eetudiEnodsaiitvsrazeel
Pourl’´etudedusignedey′, on pourra noterα= Arcsin33!.
•serDabetzlsesvdeauleitnoraailuatssmisden´eexety. Vous calculerez les valeurs
dex(α),y(α).
´
Etude des tangentes enM(0)etM(α).
Trace´delacourbe.
3
Onprendra96≈0 0 9 225 et4
≈

EXERCICE 4:LDEro’dtantconssa`ocrd2enestffieic

1.a.uszevlosR´erRiffndioatientre´euqe´’llle
2y′′−3y′+y= 0

b.tiua(2onui)qerv´losaoitulednqe´’D´eterminezlnsioitndcoeselifisetnavius
•orl’inigsspaarepeativsentpr´ebereitnoosulteetdeceruocaLO00.
•`al’origrbeadmetioetatgnniueenrdtteCuoceocedetnedtneicffieurteecir−2.1
2.evszseloR´ruR´’qelondiuatientiff´erelle
2y′′−3y′+y=t+ 1

3.

D´eterminezlasolutionduprobl`emedeCauchyd’ordre2
yy′(′0)=+2y′30et+yy′2==0)(0

EXERCICE 5:DLEord’e2drco`anestffieicnotsoncnants
Lebutdel’exerciceestdere´soudresur]−1´el’1[iff´erentquationdeille
(x2−1)y′′(x) + 3xy′(x)−8y(x) = 1−x2

3

(2)

(3)

(4)

(5)

1.

2.

3.
4.

5.

1.

2.
3.

Re´solvezsurR:teanivdiff´erentiellesul´’qeauitno

z′′(t) + 9z(t) =−sin2(t)

Soityune fonction de ]−11[ dansR. On appellez]rus0e´dneinfionafioctl π[ par :

∀t∈]0 π[

z(t) = sin(t)y(cost)

6()

Pour toutx∈]−11[, donnez l’expression dey(xa`)ia’ldedezet de fonctions usuelles.
D´d isez-en que
e u

yelbavire´dsiofxur]sustdee−11[si et seulement siz0r]estdeuxofsi´drevibaelus π[.

Pour toutx∈]−11[, exprimezy′(x) ety′′(xdidelaa’)`ezvri´esds.eeedeste
´
D´emontrezqueyest solution de (8)si et seulement sizielleiff´erentuqtaoidnfiiueene´erv´
que l’on explicitera.
Donnez enfin les solutions de (8) sur ]−11[.

´
EXERCICE 6:elarEqtiuainonegt´
Soitg:R→Rune fonction de classeC1.
De´montrezquesiunefonctionfcontinue surRifiere´v
pour toutx∈R f(x) =g(x) +Z0xt f(t)dt

(7)

alorsfetsentdiremessan´ecessalceC1neitleelnoid´ffretesatisfaiete´dtetiuaeqe´unezinrm
parfainsi que la valeurf(0).
D´eduisez-enqu’ilexisteuneuniquefonctioncontinuef:R→Rifierv´.)7(tna
Calculezflorsque

a.gestde´nfieiusrRparg(x) =c,uo`c∈Resnetusnoctnatnodeee´.n
b.gruseinfie´dtseRparg(x) =x2.
c.greiuse´nfisedtRparg(x) = ch (x) exp(x22).

4

Fin du sujet