Devoir Surveillé N°03

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

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DEVOIR SURVEILLE N˚03

Samedi08de´cembre2012

dur´eedel’´epreuve4heures(pasmoins;-))

Lepremierprobl`emeproposeunere´visiondestechniquesd’analysedepremi`erep´eriode:
´ationdiffe´rentille,arcparam´etr´eencart´esiennesainsiqu’unpeudeg´eom´etrieplane.
equ e
Ledeuxie`meproble`med´ebutepardesquestionsdecoursoud’applicationdirecteducours
dege´ome´triedansl’espacepuisonseram`enedansleplanaumoyend’intersections:on
retouve alors des courbes connues ! ! Enfin le dernier exercice est hyper classique et pas
dur.
Commed’habitude,prenez10minutesaude´butdel’´epreuvepourregarderl’ensemble
dusujetetrepe´rerlespartiesquevousconnaissezbien,ouaucontrairecellesquivous
semblent plus difficiles.
etde´butezparcequevoussavezlemieuxfaire!

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

`
PROBLEME 1 : Autour des fonctions hyperboliques
Mots-cl´es:´equationdiffe´rentielle,fonctionsusuelles,courbeplaneparame´tre´e,ge´ome´trie
plane..........................................................................≈10 pt

`
PROBLEME2:Points´equidistantsdedeuxdroitesdel’espace
Mots-cle´s:g´eome´triedansl’espace,distanced’unpointa`unedroite,intersections
avec un plan....................................................................≈8 pt

EXERCICE1:Re´ductiond’unecourbealge´briquededegr´e2
Mots-cle´s:e´l´ementscaracte´ristiques. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈2 pt

Nb :L’utilisation destaluclacsriceestrditintee.

1

1.

2.

1.
a.
b.
c.
d.

e.
f.
2.
a.
b.

1.
2.

`
PROBLEME 1:Autour des fonctions hyperboliques
On donne ln(1 + 2)≈0 288 et− 2)ln(1 +≈053.
PartieI.R´esolutiond’´tionsdiff´erentielles
equa

R´esolvezsurRellel´’qeuationdiff´erenti

z′+ th (t)z= 0

D´eterminezlasolutionz1de (E1ialeinittionidnocaltnafiire´v)z1(0) = 1.
Re´solvezsurRellere´ffitnetiuadionleq’´

z′+ th (t)z=tth (t)

D´eterminezlasolutionz2de (E2itlaininelantfiariioitndcoe´v)z2(0) = 0.
´
PartieII.Etuded’arcparame´tr´
un e

(E1)

(E2)

Dansleplan,rapporte´a`unrep`ereorthonorm´e(ı~O~eralocruebdΓ´’qe),onconsid`etiuason
param´etriques:
yx((tt)==)tch−t(1th()t)
´
Etude de Γ :
MontrezqueΓadmetunaxedesyme´trie.
´
Etudiezlesvariationssimultan´ees.
´
Etudiez la tangente au pointAd.rt0emae`pera
D´eterminezlepointBcieffitdenecirurtecourpoeantgeanatlu`oebruocaled−1. Donnez
uneequationcart´esiennedelatangente`aΓaupointB.
´
´
Etudiez la nature des branches infinies de Γ.
Representez Γ.
´
SoitM0pnutnio`eametrΓddearept0∈R.
De´terminezune´equationcarte´siennedelatangentea`ΓaupointM0.
Cette tangente coupe l’axe des abscisses en un pointN0. CalculezM0N0.
Partie III. Intersection avec une famille de courbes

On noteCα:noibr´eueiq´ed’atqulcauobraegl

x2+y2−2αx= 1−α2

Pre´cisezlanatureg´eom´etriquedeCα.
SoitMle point de Γ de parametret∈R. Montrez que
`

Mtient`aapparCαsi et seulement sit=αout−2tht=α.

2

3.

4.
5.

1.

2.

3.

1.

a.

b.

a.

SoitMelopnidtperaam`etreα. Montrez que les tangentes enMaux deux courbesCαet
Γ sont perpendiculaires.
D´eterminez,suivantlavaleurdeα, le nombre de points d’intersection entre Γ etCα.
Tracezsurlafiguredeladeuxie`mepartielescourbesC04etC−14.

`
PROBLEME 2:tiordxueseidis´equsdedtantnistoP
Danstoutleproble`me,D1etD2quriese’lecapoe´gte´muxdroitesaffinesde´dsegientned
usuelEnon coplanairesrsigirtdeuetcevsedrapsee´resitaiun~u1et~u2n-lee’utidnOe´.
semblePdespointsMdeE,antsdeiuqetsid´D1etD2:
P={M∈E|d(MD1) =d(MD2)}

On note
Δ la perpendiculaire commune aD1etD2.
`
H1etH2les points d’intersection respectifs
deD1etD2avec Δ
Ole milieu du segment [H1H2]

PartieI.Pr´eliminaires:distanced’unepointa`unedroite

SoitDune droite affine de l’espaceEe(p`erederA~u). SoitM0un point deE, etH0son
projet´eorthogonalsurD.
Montrez que pour tout pointNde la droiteD, on aM0N≥M0H0´ealitc´egeva,si et
seulement siN=H0.
A−−M→0∧~uk
On rappelle qued(M0D) =M0H0. Montrez qued(M0D) =kk~uk.
Application :minezladistanced´dteretniopuM0(12itroadal`)3eDelperaniefid´
syste`med’´equationscart´esiens2xx−+yy+zz1==−1 .
Indication :’dbarodpourriezvonuesdne´etmre..e.erp`reunerin
−
PartieII.Equationcart´esiennedeP
´
\
On noteθ= (~~u2)∈]0 πalem,[del’sureenonangle´tneiroertne~u1et~u2.
u1
Montrez quek~u1+~u2k cos= 2θ2etk~u1−~u2k= 2 sin2θ.
On pose~ı=k~u~u11++~u~u22k,~=k~uu~11−−~uu~22ketk~=~ı∧~.
~
Montrez queR= (k~ı~Orthonormrep`ereoe´ednutse)E.

~
Danslasuitel’espaceestrapport´eaurepe`reR= (O ~ ~ k).
 ı 
Montrez que~u1= cosθ2~ı+ sin2θ~et~u2= cosθ2~ı

3

θ
−sin2~.

b.
3.
a.
b.

1.

a.

b.

2.

a.

b.

1.
2.

3.

⋆tel que−O−H→1=~−−→k~.
Montrez qu’il existea∈RaketOH2=−a
SoitMtdecoordonn´ees(nuopnix y zeerad)elsn`perR.
Exprimezd(MD1) etd(MD2) en fonction dex y z aetθ.
Formezunee´quationcart´esiennedePdans le repereR.
`
Partie III. Intersections dePet d’un plan

Pour touth∈R, on notePhuqta’de´lpnaelnioz=h. On note Ωhle point d’intersection
dePhavec l’axe (Oz).Phest muni du repereRh= (Ωhı~~).
`
A quelle condition un pointMdePhse(code´enndoorx yd)repenals`ereRhl-iapientpart
`aP?
Pr´ecisezlanaturedelacourbeP∩Ph.
Onnedemandepaslese´l´ementscaract´eristiques
Pourϕ∈R, on poseuϕ= cosϕı+ sinϕ~eocreslntdeineo`lpnaQϕererep`ed
~ ~
~
Rϕ= (~uOϕ k).
`
A quelle condition un pointMdeQϕes(edocroodnne´t z)danslerepere`Rϕl-ipatraptnei
`aP?
Pr´ecisezlanaturedelacourbeintersectiondeP∩Qϕ.
Onnedemandepaslese´l´tscaract´eristiques
emen

EXERCICE 1:2e´Rrgee´uqirdedelaebbe´gne’uurcoctdundio
Leplanestrapport´e`aunRONDR= (~ıO~nOe´.)elactudieourb
t´ ienne :
car es
x2+xy+y2−4x−5y+ 2 = 0

Γ

d’equation
´

(K)

De´terminezlanaturege´ome´triquedeΓ.
Pre´ci´el´ementscaract´eristiques:excentricit´e,foyer(s),directrice(s),asymptoteset
sez ses
centre s’il y a lieu.
Tracez Γ.

4

Fin du sujet