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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 15 octobre 2011 ´DEVOIR SURVEILLE N˚02 dur´ee de l’´epreuve 4 heures LISEZ-MOI! Le sujet est de longueur raisonnable et de contenu tr`es classique. Avant de d´emarrer l’´epreuve prenez le temps n´ecessaire pour lire l’ensemble du sujet et rep´erer les parties que vous connaissez bien, et d´eﬁnissez un ordre pour traiter les exercices ou parties du probl`eme, en commenc¸ant par ce que vous savez le mieux faire!! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF EXERCICE 1 : S´ecante et argument s´ecante hyperbolique Mots-cl´es : ´etude de fonction, bijection, application r´eciproque................≈ 4 pt EXERCICE 2 : Autour de la fonction Arc sinus Mots-cl´es : domaine de d´eﬁnition, simpliﬁcation d’expression.................≈ 2 pt EXERCICE 3 : Autour de la fonction Argument sinus hyperbolique Mots-cl´es : simpliﬁcation d’expression........................................≈ 3 pt EXERCICE 4 : R´esolution d’une ´equation Mots-cl´es : fonctions trigonom´etriques r´eciproques............................≈ 2 pt `PROBLEME 1 : Autour de la fonction Arc tangente Mots-cl´es : cours, simpliﬁcation d’expression, r´esolution d’´equation..........≈ 10 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 EXERCICE 1 : S´ecante et argument s´ecante hyperboliques 1 On pose sch(x) = chx 1. D´eterminez l’ensemble de d´eﬁnitionD de la fonction sch et ´etudiez sa parit´e. ´2.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

LISEZ-MOI !

´
DEVOIR SURVEILLE N˚02

d´edel’e´preuve4heures
ure

Samedi 15 octobre 2011

Lesujetestdelongueurraisonnableetdecontenutre`sclassique.Avantded´emarrer
l’´epeprenezletempsn´ecessairepourlirel’ensembledusujetetrep´ererlesparties
reuv
quevousconnaissezbien,etde´ﬁnissezunordrepourtraiterlesexercicesoupartiesdu
probl`eme,encom¸parcequevoussavezlemieuxfaire!!
mencant

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

EXERCICE1:Se´canteetargumentse´cantehyperbolique
Mots-cl´es:´etudedefonction,bijection,applicati´iproque. . . . . . . . . . . . . . . .≈4 pt
on rec

EXERCICE 2 : Autour de la fonction Arc sinus
Mots-cl´es:domainedede´ﬁnition,simpliﬁcationd’expression. . . . . . . . . . . . . . . . .≈2 pt

EXERCICE 3 : Autour de la fonction Argument sinus hyperbolique
Mots-cl´es:simpliﬁcationd’expression. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈3 pt

EXERCICE4:R´esolutiond’une´equation
Mots-cl´es:fonctionstrigonome´triquesre´ciproques. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈2 pt

`
PROBLEME 1 : Autour de la fonction Arc tangente
Mots-cl´es:cours,simpliﬁcationd’expression,r´esolutiond’´equation. . . . . . . . . .≈10 pt

Nb :L’utilisation dessriceclactaluestrditintee.

1.
2.
3.

5.
6.

1.
2.

EXERCICE 1:seuqiolrbpehyteanecs´raugemtncenaetteS´

On pose sch(xh)=1cx
D´eterminezl’ensembledede´ﬁnitionDtincscont´heudetedofaleiszparatie´.
´
Etudiez les variations de la fonction sch et precisez ses limites aux bornes deD.
´
Montrezquelarestrictiondescha`l’intervalle[0+∞[ induit une bijection sur un intervalle
a preciser.
` ´
OnnoteArgschsonapplicationre´ciproque.Donnezsonensembleded´eﬁnitionetdeconti-
nuit´eainsiquesontableaudevariation.Tracezlescourbesrepr´esentativesdesfonctions
sch et Argsch.
ExplicitezlafonctionArgscha`l’aidedefonctionsusuelles.

SurquelensemblelafonctionArgschest-elled´erivable?Calculezsade´riv´eesurceten-
semble.

EXERCICE 2:Autour de la fonction Arc sinus
Soitf(x) = Arcsin+1(2+1xx2)!.
D´eterminezl’ensembleded´eﬁnitiondef.
Montrez quefus]restd´erivable− ∞1[∪]1+∞[d´eteretnemizf′.
Simpliﬁez l’expression defsur ]− ∞1[ et ]− ∞1[.

EXERCICE 3:Autour de la fonction Argument sinus hyperbolique
Soitf:R→Rlafoncpeinranoitﬁe´df(x) = Argsh (2x x2+ 1).
Lebutdesprochainesquestionsestd’e´tablirlarelation,validepourtoutx∈Df:

f(x () = 2Argshx)

premierem´ethode:leabriva`al’aiedudhcnaegemtnedt (= Argshx).
`
deuxie`mem´ethode:eudian´et´dretnaldeevie´f.
troisi`eme´thode:.ail’dede`aisnoolag’lxerpseedeArgshrithmiqu
em

EXERCICE 4:oseRitnouaeqe´und’ontilu
´
Lebutdel’exerciceestdere´soudrel’´equation

Arcsin (2x)−Arcsin (x3) = Arcsin (x)

(1)

On suppose quextronqueze’le´uqtaoi(n)1M.estunesolutiondex∈[−2121] et qu’il
veriﬁe :
´
2x1−3x2−x3 1−4x2=x(2)

R´esolvezl’e´quation(2)etconcluez.

2.
3.

1.
2.
3.

1.
a.
b.

`
PROBLEME 1:Autour de la fonction Arc tangente

Partie I. Question de cours
Montrez que pour toutx∈R (, cos(Arctanx=))+11x2.
MontrezqueArctanestd´erivablesurRvire´das.ee´etcalculez
Montrez que

•Pour toutx∈R+⋆Arctan (x) + Arctan (1x) =π2.
π
=−
•Pour toutx∈R−⋆Arctan (x) + Arctan (1x)2.
D´eterminezlesprimitivesdelafonctionArctan.

Partie II. Sommes d’arc tangentes
Soita∈R. On posefa(x) = Arctan1a−+xxa.
D´eterminezenfonctiondeaseenl’,d´delembﬁeinitnoDadefa.
Montrez quefaestre´dbaviadelsnDaet explicitezfa′.
Calculez limfa(x).
x→±∞
Endistinguantsuivantl’intervalle,de´duisezdesre´sultatspre´ce´dentsuneexpressionsim-
pliﬁ´eedefasurDa.
Indication :il y a un intervalle lorsquea= 0, et deux intervalles lorsquea6= 0.
Soit (a b)∈R2oisnrpe´´cdeneets,montrezque.l’`Adeaisqdestue
Arctan (a) + Arctan (b) = Arctan1a−+babsi et seulement siab <1

Partie III. Applications

Re´solutiond’une´equation
Calculez Arctan (2) + Arctan (5) + Arctan (8).
R´esoudredansRl´’qetiuaon

Arctan (x−3) + Arctan (x) + Arctan (x54+3)=π

Somme ﬁnie d’arc tangentes
Soitp∈N⋆. Calculez Arctanpp+ 1−Arctanpp−1
.
n
D´eduisez-enlalimite,quandntend vers +∞deSn=XnatcrA12
p=12p

.

Fin du sujet

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