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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 24 septembre 2011 ´DEVOIR SURVEILLE N˚01 dur´ee de l’´epreuve 3 heures LISEZ-MOI! Tout ou presque a d´ej`a ´et´e trait´e dans ce sujet. Prenez 10 minutes au d´ebut de l’´epreuve pour regarder l’ensemble du sujet et rep´erer les parties que vous connaissez bien, ou au contraire les parties qui vous semblent plus diﬃciles. et d´ebutez par ce que vous savez le mieux faire! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF ` ´PROBLEME 1 : Equations polynomiales de degr´e 3 Mots-cl´es : racines cubiques, syst`eme somme-produit, racine imaginaire pure, factori- sation, changement d’inconnue.................................................≈ 10 pt i`emesEXERCICE 1 : Racines n de l’unit´e n−1Mots-cl´es : ´equation 1+z +···+z = 0...................................≈ 5 pt EXERCICE 2 : Calculs de sommes trigonom´etriques Mots-cl´es : lin´earisation,´etriques, t´elescopage ..............≈ 5 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 ` ´PROBLEME 1 : Equations polynomiales de degr´e 3 L’objet de ce probl`eme est d’´etudier les m´ethodes qui conduisirent les math´ematiciens italiens i`emedu XVI si`ecle a` introduire les nombres complexes. Contrairement `a ce que l’on pourrait imaginer, les nombres complexes ne sont pas apparus lors de la r´esolution des ´equations du deuxi`eme degr´e, mais lors de l’´etude des ´equations de degr´e 3.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

LISEZ-MOI !

´
DEVOIR SURVEILLE N˚01

dur´eedel’´epreuve3heures

Samedi 24 septembre 2011

Toutouprd´ej`a´ete´trait´edanscesujet.Prenez10minutesaud´ebutdel’e´preuve
esque a
pourregarderl’ensembledusujetetrepe´rerlespartiesquevousconnaissezbien,ouau
contraire les parties qui vous semblent plus diﬃciles.
etd´ebutezparcequevoussavezlemieuxfaire!

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

` ´
PROBLEME1:Equationspolynomialesdedegre´3
Mots-cle´s:racinescubiques,syste`mesomme-produit,racineimaginairepure,factori-
sation, changement d’inconnue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈10 pt

i` estie´’eldnu
EXERCICE 1 : Racinesnem
Mots-cl´es:e´quation1 +z+  +zn−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0. . . . . . . . . . . . . . . . .≈5 pt

EXERCICE2:Calculsdesommestrigonom´etriques
Mots-cl´es:line´arisation,sommestrigonome´triques,t´elescopage. . . . . . . . . . . . . .≈5 pt

Nb :L’utilisation descalculatricesestinterdite.

c.
2.

c.
3.

` ´
PROBLEME 1:Equaaielnymopsloitnoe3r´egedsd

L’objetdeceproble`meestd’´etudierlesm´ethodesquiconduisirentlesmathe´maticiensitaliens
du XVIie`eme`lcisntroe`aielesduircserbmonsexelpmoaitron.C`antmeretounpairrquce’oel
imaginer,lesnombrescomplexesnesontpasapparuslorsdelar´esolutiondese´quationsdu
deuxi`emedegr´e,maislorsdel’e´tudedese´quationsdedegr´e3.
Lesprincipauxacteursdecetted´ecouvertefondamentalesontGirolamo-Jeeomrˆ´eisnovnre
francise´e-Cardan(1501-1576),Nicolo de Brescia- plus connu sous le nom deTartaglia1- (1500-
1557) etRaﬀaele Bombelli(1526-1573).
Dansobl`´esouttroise´quationspolynomialessuivantuneme´thodediﬀe´rente
ce pr eme, on r
a`chaquefois.
M´ethodedeCardan
Lebutdeceparagrapheestdere´soudredansC’´luaeqonti

z3−3iz+ 1−i= 0

`
Acetteﬁn,conside`ronslesyste`mesuivant:
u+v=
u×v=

z
i

(1)

(2)

Montrer que sizest solution de (1), et (u v(e)2a,ollotuoidn)estunestsece´nsrnemerias
u3etv3sont les solutions de :

w2+ (1−i)w−i= 0

(3)

R´esolvezl’´equation(3),end´eduirelesvaleursdeuilisantl’´egalit´.nEtui=uvend´eduire
e
les valeurs dev.
Re´solvezl’´equation(1).
Ende´terminantuneracineimaginairepure
Lebutdeceparagrapheestdere´soudredansCqeauitnol´’

z3−(5 + 3i)z2+ (7 + 16i)z+ 3−21i= 0

(4)

D´emontrezquesi(4)posse`deunesolutionimaginairepureiy,y-lusontmereaissece´ntse
tiondel’´equation:
5y2−16y+ 3 = 0

End´eduireuneracinede(4)etunefactorisationdupolynˆome

P(z) =z3−(5 + 3i)z2+ (7 + 16i)z+ 3−21i

Re´solvez(4).
`
A l’aide d’un changement d’inconnue
Soitα∈]−2ππ2ose´redtseehpargnioatqu´el’reuddecepara[.Lebut

(1 +iz)3(1−itanα) = (1−iz)3(1 +itanα)

1ueegb`it...crqeisape´at’ulisurneainomm´

(5)

a.Siz∈Cest une solution de (5), montrez que|1 +iz|=|1−iz|queneDu´ie.dz-sezest
ne´cessairementunr´eel.
iα
b.1Exprimze+1−itnatnaααen fonction dee.
c.losselehcrehcnOles,´eelns,rutioroemlsfas)uoed5(z= tanθ, avecθ∈]−π2π2[.
Quelle´equationdoitve´riﬁerθ?
d.oituloseqe´’ledn(5ontiua).Achevezlar´

1.a.

2.a.

3.a.

`
EXERCICE 1:Racinesniemesl’undeit´e
2iπ
Soitn∈NtenoOna`.2gelaor´uirueup´eiersnentuω=e.
n
Re´solvezdansCtion1+,l’´equaz+  +zn−1= 0.
Indication :vous pourrez observer que 1 n’est certainement pas solution.
2kπ
Ende´duirequekn=X−01cos = 0.
n
n−1
De´duisezdelaquestionpr´ec´edentel’expressiondelasommeX|ωk−1|2en fonction de

k=0
n.
n
Soitp∈[0 n]]. Montrez que la sommeXωkpvautnsip= 0 oup=net est nulle sinon.
k=1
n
Montrez que pour tout nombre complexez∈C, on aX(z+ωk)n=n(zn+ 1).
k=1

EXERCICE 2:clluaCmoemdssegonostririqum´etse
Soientn∈N⋆un entier naturel non nul etx∈Rnu´ree.lnOsupposequexn’est pas un
multiple entier de 2πrid-e,c’est-`ax6≡0 [2π].
n n
Soita∈R. Calculez les sommesCn=Xcos(a+kx)etSn=Xsin(a+kx).
k=0k=0
Vouspre´senterezler´esultatsouslaformed’unquotient.
Exprimez, lorsque cela a un sens tanp−tanqaide`al’(nedisp−q), cospet cosqz-seuiedD´.
enuneexpressionre´duitede

Lin´earisezsin3(θ).

n
kX=1coskxs(co1k+ 1)x

n
`
Al’aided’unte´lescopage,exprimezlasommeX3k−1sin33xk
k=1

en fonction denet dex.

Fin du sujet

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