Devoir Libre N°13: Années précédentes
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a.
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c.
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
DEVOIR LIBRE N˚13
a`rendrevendredi4mai2012
EXERCICE 1:lgAinelbr`eaderiae´snM3(R)
On se place dans l’espace vectorielE=M3(Rtnscffieicaeoirtacsec)msedrd’o3`rer´arsdee
reels. On donne
´
3−2 0
A=2002013 P=211001111 T=10200
0 2 1
Lebutdel’exerciceestd’´etudierl’ensembleC(A) des matrices qui commutent avecA:
C(A) ={M∈ M3(R)|A×M=M×A}
Calculsmatricielspr´eliminaires
Montrez quePnvtisieresetmrnizelbeedte´P−1.
CalculezP−1×A×P.
De´montrezqueC(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R).
SoitM∈ M3(R), une matrice quelconque.
′
On poseM=P−1×M×P. Montrez que
A×M=M×A⇐⇒
T×M′=M′×T
Prouver alors qu’une matriceM′deM3(Rre´vefii)T×M′=M′×T
ilexistedesre´elsa b ctels que
M′=00a0b0bc0
si et seulement si
End´eduirequeMpaaprtient`aC(A)si et seulement siiixellseeedstr´esa b ctels que
−a+ 2bb22aa−−2bb−−aa++b+ 2c
M=−a0+0b+bc
De´terminezunebasedeC(A).
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Fin du sujet
