Devoir Libre N°12
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
DEVOIR LIBRE N˚12
a`rendrevendredi19avril2013
EXERCICE 1:reebg`Alriae´nilsnadeM3(R)
On se place dans l’espace vectorielE=M3(Rsticneocffie3ea`amsecirtd)d’esdrorcaes´err
´eelsOnd
r . onne
1 0 0
A=013−202032 P=011011211 T=100202
Lebutdel’exerciceestd’´etudierl’ensembleC(A) des matrices qui commutent avecA:
C(A) ={M∈ M3(R)|A×M=M×A}
Calculsmatricielspre´liminaires
Montrez quePsteveinnez´dtereimsrbielteP−1.
CalculezP−1×A×P.
De´montrezqueC(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R).
SoitM∈ M3(R), une matrice quelconque.
On poseM′=P−1×M×P. Montrez que
A×M=M×A⇐⇒
T×M′=M′×T
Prouver alors qu’une matriceM′deM3(Rv)ire´efiT×M′=M′×T
ilexistedesr´eelsa b ctels que
M′=00a0b0bc0
si et seulement si
Ende´duirequeMt`aappartienC(A)si et seulement sili´esrselisexdetea b ctels que
−a+ 2b2a−2b−a+b+ 2c
M=−a+b20a−b0−a+b+bc
De´terminezunebasedeC(A).
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Fin du sujet
